Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\varphi(n)}{2^n-1}<2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 04-03-2013 - 20:34

CmR: Với $n \in N^{*}$
$$\Large{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\varphi(n)}{2^n-1}<2}$$

@supermember: Bài này phải có hiểu biết về hàm sinh mới làm được :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 13-03-2013 - 18:42

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#2 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 13-03-2013 - 09:12

Lời giải của mình ko hay lắm nhưng post lên cho mọi người tham khảo..
Đậm chất computer..
Dễ dàng kiểm tra BDT với n=1 đến 10.
Xét n>10.ta cm bằng quy nạp
$\sum \frac{\varphi (n)}{2^{n}-1}<2-\frac{1}{n}$.với n=11 hiển nhiên
Giả sử $\sum \frac{\varphi (n)}{2^{n}-1}<2-\frac{1}{n}$
Ta phải cm $\sum \frac{\varphi (n+1)}{2^{n+1}-1}<2-\frac{1}{n+1}$
Hay đi cm
$\frac{\varphi (n+1)}{2^{n+1}-1}<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\varphi (n+1)\leq n$ nên ta phải cm
$n^{2}(n+1)<2^{n+1}-1$.
BDT hiển nhiên đúng vì n>10.
Vậy ta có dpcm...
P/s:mọi người kiểm tra lại cho mình nha.

#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 13-03-2013 - 18:05

Lời giải của mình ko hay lắm nhưng post lên cho mọi người tham khảo..
Đậm chất computer..
Dễ dàng kiểm tra BDT với n=1 đến 10.
Xét n>10.ta cm bằng quy nạp
$\sum \frac{\varphi (n)}{2^{n}-1}<2-\frac{1}{n}$.với n=11 hiển nhiên
Giả sử $\sum \frac{\varphi (n)}{2^{n}-1}<2-\frac{1}{n}$
Ta phải cm $\sum \frac{\varphi (n+1)}{2^{n+1}-1}<2-\frac{1}{n+1}$
Hay đi cm
$\frac{\varphi (n+1)}{2^{n+1}-1}<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\varphi (n+1)\leq n$ nên ta phải cm
$n^{2}(n+1)<2^{n+1}-1$.
BDT hiển nhiên đúng vì n>10.
Vậy ta có dpcm...
P/s:mọi người kiểm tra lại cho mình nha.

Rất tiếc bạn ạ, ban đầu mình cũng làm như bạn nhưng quy nạp đã sai ở chỗ $n=11$ cái BDT kia không đúng đâu, mình cũng đã tính đến bậc 2,3 rồi nhưng thất bại, BDT chưa đủ chặt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 13-03-2013 - 18:10


#4 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-11-2017 - 23:22

Ta dùng kết quả sau đây $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}$ [ dùng hàm Dirichlet ]

 

Từ đây ta có thể kết thúc bài toán






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh