Chủ đề này có 7 trả lời

[Math Is Love]

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI__________________KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN_____________________________Môn thi:Toán (ngày thứ 2)
______________________________________________________Thời gian:180 phút

Bài 1:
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x_2=x_1^2+7x_1+8\\ x_3=x_2^2+7x_2+8\\x_4=x_3^2+7x_3+8\\ x_1=x_4^2+7x_4+8\end{matrix}\right.$$

Bài 2:
Giả sử $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-4x+1=0$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$,số $x_1^{2n}+x_2^{2n}$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.

Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ thuộc đoạn $BC$.$(I_1),(I_2)$ theo thứ tự là đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABD;ACD$. $(I_1)$ theo thứ tự tiếp xúc $AB;BD$ tại $E;X$. $(I_2)$ theo thứ tự tiếp xúc với $AC,CD$ tại $F;Y$.
a, $AI_1;AI_2$ theo thứ tự cắt $EX;FY$ tại $Z;T$. Chứng minh rằng $X;Y;Z;T$ thuộc cùng một đường tròn.
b, $EF$ theo thứ tự lại cắt $(I_1);(I_2)$ tại $K;L$. Chứng minh rằng $EK=FL$ khi và chỉ khi $\widehat{DAB}=\widehat{DAC}$

Bài 4:
Cho bàn cờ kích thước $2013 \times 2013$ (gồm $2013$ hàng và $2013$ cột). Hỏi có thể đặt được tối đa bao nhiêu quân xe lên bàn cờ sao cho mỗi quân xe có không quá một quân xe khác có thể ăn nó(Hai quân xe ăn được nhau khi chúng hoặc nằm trên cùng một hàng ngang hoặc cùng một cột)
$$***************$$
____________
Tạch cmnr!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 06-03-2013 - 11:05

[Joker9999]

Hôm nay t làm chán, được bài 1 vs 2. Bài 4 ngỏm. Bài 1 lập luận rắc rối quá.
Bài 2:
$x_1^{2n}+x_2^{2n}-2=(x_1^n-x_2^n)$ do $x_1x_2=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$
$x_1^2=4x_1-1\Rightarrow x_1^n=4x_1^{n-1}-x_1^{n-2}$ tương tự thì $S_n=4S_{n-1}-S_{n-2}.S_n=x_1^n-x_2^n$
$S_1=2\sqrt{3},S_2=5\sqrt{3},S_3=30\sqrt{3}$, dễ CM quy nạp $S_n=c\sqrt{3}\Rightarrow x_1^{2n}+x^2{2n}=3c^2+2=(c-1)^2+c^2+(c+1)^2$

[Joker9999]

Bài 1:
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x_2=x_1^2+7x_1+8\\ x_3=x_2^2+7x_2+8\\x_4=x_3^2+7x_3+8\\ x_1=x_4^2+7x_4+8\end{matrix}\right.$$

Lời giải:
Hệ đã cho tương đương:
$\left\{\begin{matrix} x_2+2=(x_1+2)(x_1+5)\\ x_3+2=(x_2+2)(x_2+5\\ x_4+2=(x_3+2)(x_3+5\\ x_1+2=(x_4+2)(x_4+5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x_2+4=(x_1+3)(x_1+4)\\ x_3+4=(x_2+3)(x_2+4)\\ x_4+4=(x_3+3)(x_3+4)\\ x_1+4=(x_4+3)(x_4+4) \end{matrix}\right.$
Nếu 1 số $=-2,-3,-4,-5$ thì ta dễ suy ra nghiệm $(-2,-2,-2,-2), (-4,-4,-4,-4)$
Xét TH ngược lại
Nhận vế vs vế của 4 phương trình đầu: $\prod (x_1+5)=1$ và $4$ vế phương trình sau: $\prod (x_1+3)=1$
Như vậy: $\prod (x_1+3)=\prod (x_1+5)$ đây là điều vô lý
Kết luận: $(x_1,x_2,x_3,x_4)\epsilon {(-2,-2,-2,-2),(-4,-4,-4,-4)}$
--------------------------------------------
Bài mình ý tưởng cơ bản là như vậy nhưng trong bài thi đoạn cuối viết lằng nhằng, viết rắc rối, linh tinh, chắc là bị trừ sạch:-<
Nếu bị loại mình sẽ buồn lắm, không phải là do yếu kém mà là làm ẩu, không cẩn thận. Tự trách mình thôi ( :-<

[Math Is Love]

Lời giải:
Hệ đã cho tương đương:
$\left\{\begin{matrix} x_2+2=(x_1+2)(x_1+5)\\ x_3+2=(x_2+2)(x_2+5\\ x_4+2=(x_3+2)(x_3+5\\ x_1+2=(x_4+2)(x_4+5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x_2+4=(x_1+3)(x_1+4)\\ x_3+4=(x_2+3)(x_2+4)\\ x_4+4=(x_3+3)(x_3+4)\\ x_1+4=(x_4+3)(x_4+4) \end{matrix}\right.$
Nếu 1 số $=-2,-3,-4,-5$ thì ta dễ suy ra nghiệm $(-2,-2,-2,-2), (-4,-4,-4,-4)$
Xét TH ngược lại
Nhận vế vs vế của 4 phương trình đầu: $\prod (x_1+5)=1$ và $4$ vế phương trình sau: $\prod (x_1+3)=1$
Như vậy: $\prod (x_1+3)=\prod (x_1+5)$ đây là điều vô lý
Kết luận: $(x_1,x_2,x_3,x_4)\epsilon {(-2,-2,-2,-2),(-4,-4,-4,-4)}$
--------------------------------------------
Bài mình ý tưởng cơ bản là như vậy nhưng trong bài thi đoạn cuối viết lằng nhằng, viết rắc rối, linh tinh, chắc là bị trừ sạch:-<
Nếu bị loại mình sẽ buồn lắm, không phải là do yếu kém mà là làm ẩu, không cẩn thận. Tự trách mình thôi ( :-<

Tại sao vô lý thế???
Có thể $x_i \in \left [ -5;-3 \right ]$ thì sao???

[Joker9999]

Tại sao vô lý thế???
Có thể $x_i \in \left [ -5;-3 \right ]$ thì sao???

Nhầm rồi. Hic. :-<

[hoangtrunghieu22101997]

Bài 1:
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x_2=x_1^2+7x_1+8\\ x_3=x_2^2+7x_2+8\\x_4=x_3^2+7x_3+8\\ x_1=x_4^2+7x_4+8\end{matrix}\right.$$

Ta có: $x_2+3.5 =x_1^2+7x_1+11.5>0$
Nên $x_2 > -3.5$
Tương tự $x_i >-3.5$ với $i=\overline{1;4}$
Giả sử $x_2 \ge x_3$
$\Rightarrow x_1^2+7x_1+8 \ge x_2^2+7x_2+8$
$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2+7) \ge 0$
$\Leftrightarrow x_1 \ge x_2$ do $x_1;x_2 > -3.5$
.....
....
Sau cũng $x_1=x_2=x_3=x_4$
___________________________
Chỗ này có vấn đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 07-03-2013 - 18:16

[nguyenthehoan]

Bài hình câu b chắc là hơi rắc rối...Mình làm câu dễ...
a)Ta có bổ đề quen thuộc sau:$\widehat{AZD}=90$ (chứng minh đơn giản bằng cách cm$I_{1}XZD$ nội tiếp)
Tương tự $\widehat{ATD}=90$
suy ra AZDT nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{ZTD}=\widehat{ZAD}=\frac{\widehat{BAD}}{2}$
lại có $\widehat{DTY}=\frac{\widehat{DAC}}{2}+\widehat{AFY}-90=\frac{\widehat{ACB}}{2}+\frac{\widehat{DAC}}{2}$
suy ra $\widehat{ZTY}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{EXB}=\widehat{ZXY}$
suy ra X,Z,Y,T đồng viên...

[kerry0111]

b, $EK=2EO_1.sinEXK=2AE.sin\frac{BAD}{2}.sinAEF$

$Fl=2FO_2.sinFYL=2AF.sin\frac{CAD}{2}.sinAFE$

$\Rightarrow$ đpcm