Chủ đề này có 3 trả lời

[25 minutes]

Chứng minh với mọi $a,b,c,d$ thuộc $R$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm
$f(x)=a.$sin5x$+b.$cos5x$+c.$sinx$ +d.$cosx$=0$

[thanhson95]

Chứng minh với mọi $a,b,c,d$ thuộc $R$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm
$f(x)=a.$sin5x$+b.$cos5x$+c.$sinx$ +d.$cosx$=0$

Xét $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
$F(x)=\int f(x)dx=-a\frac{cos5x}{5}+b\frac{sin5x}{5}-ccosx+dsinx$
Giả sử phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm có nghĩa là $\begin{bmatrix}
f(x)>0\\
f(x)<0
\end{bmatrix}$ $\forall x\in [0;2\pi]$.
Nếu $f(x)>0\Rightarrow \int_{0}^{2\pi} f(x)dx>0\Rightarrow 0>0$ vô lý. Hoàn toàn tương tự với trường hợp $f(x)<0$.
Vậy điều giả sử sai.
Bạn cũng có thể sử dụng định lý Rolle để làm bài này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhson95: 06-03-2013 - 23:00

[Ispectorgadget]

Chứng minh với mọi $a,b,c,d$ thuộc $R$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm
$f(x)=a.$sin5x$+b.$cos5x$+c.$sinx$ +d.$cosx$=0$

:| dùng tích phân cũng đâu phải chia trường hợp như vậy đâu nhỉ.
Ta có: $$\int_0^{2\pi}f(x) dx=\left(\frac{-a}{7}\cos 7x +\frac{b}{5}\sin 5x-\frac{c}{3}\cos 3x+d\sin x\right )\bigg|_0^{2\pi}=0$$

Do đó phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-03-2013 - 23:07

[Noobmath]

$f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Mà $f(0)=b+d , f(\pi)=-b-d \Rightarrow f(0)f(\pi)=-(b+d)^2 \leq 0 $
Vậy $\exists a \in [0;\pi] : f(a)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Noobmath: 07-03-2013 - 13:39