Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] - trận 22 - PT, BPT, HPT, HBPT


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 08/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 22

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve


Bài làm:

Trước hết ta xét trường hợp 1 trong 3 số $x,y,z =0$ thì cả 3 sđều bằng 0 là một nghiệm của hệ.
Xét trường hợp cả 3 số đều khác 0 :
Từ hệ đã cho ta có thể suy ra hệ sau:
$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz\\\frac{156xyz}{x^2yz+yz}=\frac{65xyz}{xy^2z+xz} =\frac{60xyz}{xyz^2+xy} \\ \end{matrix}\right.$
$<=>$ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz\\\frac{156}{x(x+y+z)+yz}=\frac{65}{y(x+z+y)+xz}=\frac{60}{z(x+y+z)+xy} (2) \\ \end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ ta có :$\frac{156}{(x+y)(x+z)}=\frac{65}{(y+x)(y+z)}=\frac{60}{(z+x)(z+y)}$
hay :$156(y+z)=65(x+z)=60(x+y)$ $(3)$
Từ $(3)$ suy ra: $\left\{\begin{matrix} x=12y-13z\\91z=65x-156y \\ 96y=60x-156z \end{matrix}\right.$
Nhân 52 vào phương trình đầu và nhân 4 vào phương trình thứ 2 rồi cộng từng vế ta có : $x=5z$.
Rút $y$ bởi $x,z$ và thay vào phương trình cuối ta có :
$96\frac{(65x-91z)}{156}=60x-156z$
Kết hợp với $x=5z$ ta tính được: Sai
$\left\{\begin{matrix} x=5\\y=\frac{3}{2} \\ z=1 \end{matrix}\right.$
Thử lại thoả mãn.
Vậy hệ có hai nghiệm là $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,0 \right )=\left ( 1,\frac{3}{2} ,5\right )$$\square$

 

Điểm bài: 7

S = 25 + 7*3 = 46


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 21:30
Chấm điểm

Hình đã gửi


#4
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Nếu một trong ba số x,y,z bằng 0 thì cả ba số cùng bằng 0.
Xét trường hợp x,y,z đều khác 0.
Theo bài ra
$\frac{156x}{x^{2}+1}=\frac{65y}{y^{2}+1}=\frac{60z}{z^{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{156}{x}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\frac{65}{y}}{1+\frac{1}{y^{2}}}=\frac{\frac{60}{z}}{1+\frac{1}{z^{2}}}$
Đặt
$a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$
suy ra ab+bc+ca=1 (1)
và $\frac{156a}{a^{2}+1}=\frac{65b}{b^{2}+1}=\frac{60z}{z^{2}+1}$ (2)
Từ (2) suy ra
$\frac{12a}{a^{2}+1}=\frac{5b}{b^{2}+1}$
và $\frac{13a}{a^{2}+1}=\frac{5c}{c^{2}+1}$
suy ra $\frac{b(c^{2}+1)}{c(b^{2}+1)}=\frac{12}{13}$
và $\frac{a(c^{2}+1)}{c(a^{2}+1)}=\frac{5}{13}$
suy ra
$[\frac{a(c^{2}+1)}{c(a^{2}+1)}]^{2}+[\frac{b(c^{2}+1)}{c(b^{2}+1)}]^{2}=1$
$\Leftrightarrow [\frac{a}{a^{2}+1}]^{2}+[\frac{b}{b^{2}+1}]^{2}=[\frac{c}{c^{2}+1}]^{2}$
Thay 1=ab+bc+ca
ta có
$\Leftrightarrow [\frac{a}{(a+b)(a+c)}]^{2}+[\frac{b}{(b+c)(b+a)}]^{2}=[\frac{c}{(c+a)(c+b)}]^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}(b+c)^{2}+b^{2}(c+a)^{2}=c^{2}(a+b)^{2}$
$\Leftrightarrow 2a^{2}b^{2}+2abc(a+b)=2c^{2}ab\Leftrightarrow ab+bc+ca=c^{2}$
(vì a,b,c khác 0)
suy ra c=1 hoặc c=-1.
+)c=1 suy ra z=1
suy ra $30x^{2}-156x+30=0$
$30y^{2}-65x+30=0$
suy ra x=5 hoăc x=$\frac{1}{5}$
$y=\frac{3}{2}$ hoặc y=$y=\frac{2}{3}$
thử lại ta có
(x,y,z)=(5,$\frac{3}{2}$,1).
+)z=-1
$30x^{2}+156x+30=0$
và $30y^{2}+65y+30=0$
suy ra
$x=-5,x=-\frac{1}{5}$
$y=-\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$
thử lại
(x,y,z)=(-5,$-\frac{3}{2}$,-1)
Vậy bài toán có hai đáp số
$(x,y,z)\in {(5,\frac{3}{2},1),(-5,-\frac{3}{2},-1)}$

 

Kết luận thiếu nghiệm

Toán thủ đã bị loại ở trận 19


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 22:19
Chấm bài


#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve


Hehe hôm qua e đi nhậu 8/3 xỉn quá giờ mới có thời gian làm :">
$\bullet$ Nếu $xyz=0$, lúc đó chắc chắn có 1 số trong $x,y,z=0$ và hiển nhiên:
$$\frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}=0$$
Suy ra $x=y=z=0$.
$\bullet$ Nếu $xyz\neq 0$ thì chia cả 3 vế của phương trình thứ 2 ch0 $xyz$ và để ý $xyz=x+y+z$ thì:
$$\frac{156}{yz(x^2+1)}=\frac{65}{xz(y^2+1)}=\frac{60}{xy(z^2+1)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{156}{(x+y)(x+z)}=\frac{65}{(x+y)(y+z)}=\frac{60}{(y+z)(x+z)}$$
$$\Leftrightarrow 156(y+z)=65(x+z)=60(x+y)$$
Từ đó suy ra $z=\frac{1}{7}(5x-12y)$ rồi có $y=\frac{3x}{10},z=\frac{x}{5}$.
Thay lại vào phương trình đầu tiên ta được
$$x+\frac{3x}{10}+\frac{x}{5}=\frac{3x^3}{50}$$
$$\Leftrightarrow x(x^2-25)=0$$
Nếu $x=0$ thì ta có $y=z=0$.
Nếu $x=5$ thì $(x;y;z)=\left(5;\frac{3}{2};1\right)$.

Nếu $x=5$ thì $(x;y;z)=\left(-5;-\frac{3}{2};-1\right)$.
Vậy tóm lại $\boxed{(x;y;z)=\left(-5;-\frac{3}{2};-1\right),\left(5;\frac{3}{2};1\right),(0;0;0)}$

 

Điểm bài: 10

S = 14 + 3*10 = 44


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 21:34
Chấm bài

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Giả sử $x=tanA;y=tanB$ suy ra ta có $z=\frac{x+y}{xy-1}=\frac{tanA+tanB}{tanA.tanB-1}=-tan(A+b)=tan(180^o-A-B)=tanC$
Như vậy ta có phép đổi biến $(x;y;z)\rightarrow (tanA;tanB;tanC)$ với $\angle A;\angle B;\angle C$ là ba góc của tam giác ABC.
Ta lại có với mọi $x\in R$ thì $\frac{2tanx}{tan^2x+1}=2tanx.cos^2x=sin2x$.Suy ra từ giả thiết phương trình thì:
$78sin2A=32,5sin2B=30sin2C$
Đặt $sin2A=a;sin2B=b;sin2C=c\Rightarrow b=2,4a;c=2,6a$ (1) và ta trong mọi tam giác ta có đẳng thức $cos4A+cos4B+cos4C=-1+4cos2Acos2Bcos2C$ nên
$$3-2\sum a^2=-1+4\sqrt{\prod (1-x^2)}$$

Nhầm lẫn $a$ thành $x$, mặt khác, nếu các góc $2A,2B,2C$ đều lớn hơn $90^o$ thì sao?

Thế (1) vào thì ta có :
$4-2.(1+2,4^2+2,6^2)a^2=2.\sqrt{(1-a^2)(1-2,4^2a^2)(1-2,6^2a^2)}$
$\Leftrightarrow 1-6,76a^2=\sqrt{(1-6,76a^2)^2+5,76a^4(1-6,76a^2)}$
Suy ra $a=0$ hoặc $a=\frac{1}{2,6}$ hoặc $a=-\frac{1}{2,6}$
Với $a=0$ suy ra $b=c=0$, loại.
Với $a=\frac{1}{2,6}$ thì $b=\frac{12}{13}$; $c=1$ suy ra $x=tan(\frac{arcsin\frac{1}{2,6}}{2})$; $y=tan(\frac{arcsin\frac{12}{13}}{2})$;$z=tan(45^o)$
Với $a=-\frac{1}{2,6}$ thì $ b=-\frac{12}{13}$ và $c=-1$ suy ra $x=tan(\frac{arcsin\frac{-1}{2,6}}{2})$ ;$y=tan(\frac{arcsin\frac{-12}{13}}{2})$;$z=tan(135^o)$
Như vậy ta có 2 bộ nghiệm như trên .

 

Điểm bài: 5

S = 13 + 5*3 = 28


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 21:41
Chấm bài

LKN-LLT


#7
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve


Lời giải:
Xét $1$ trong $3$ số bằng $0$, giả sử $x=0$ ta có: $\frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}=0$ nên $y=z=0$, thử lại thoả mãn
Xét cả $3$ số khác $0$
$(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$
Như vậy phương trình thứ nhất trở thành: $ab+ac+bc=1$ và phương trình thứ 2 trở thành:

$\frac{156a}{a^2+1}=\frac{65b}{b^2+1}=\frac{60c}{c^2+1}$

$\Leftrightarrow \frac{156a}{(a+b)(a+c)}=\frac{65b}{(b+c)(b+a)}=\frac{60c}{(c+a)(c+b)}$

( Thay $ab+ac+bc=1$)

Do $a+b,c+a,b+c$ đều phải khác $0$ nên phương trình trên tương đương:

$156(ab+ac)=65(bc+ba)=60(ca+ab)$

Ta có: $156(ab+ac)=65(bc+ba)\Rightarrow ab=\frac{65bc-156ac}{91}$, thay vào:
$65(bc+ba)=60(ac+cb)$ ta được: $65.\frac{65bc-156ac}{91}+5bc=60ac$, tương đương với: $bc=\frac{10}{3}ac$
Thay vào $ab=\frac{65bc-156ac}{91}$ ta được: $ab=\frac{65bc-156ac}{91}=\frac{\frac{50}{3}ac-12ac}{7}=\frac{2}{3}ac$
Như vậy ta sẽ có:
$\frac{2}{3}ac+ac+\frac{10}{3}ac=1$ nên $ac=\frac{1}{5}$, từ đó có: $bc=\frac{2}{3},ab=\frac{2}{15}$
$c^2=\frac{bc.ac}{ab}=1$ nên $c=1$ hoặc $c=-1$
Nếu $c=1$ thì $a=\frac{1}{5},b=\frac{2}{3}$ còn $c=-1$ thì $a=\frac{-1}{5},b=\frac{-2}{3}$,
Như vậy phương trình có nghiệm $(x,y,z)$ là $(5,\frac{3}{2},1)$ ,$(-5,\frac{-3}{2},-1)$,$(0,0,0)$, thử lại thấy đúng

 

Điểm bài: 10

S = 13 + 3*10 = 43


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 21:47
Chấm bài

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#8
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Dễ thấy (0;0;0) là một nghiệm của hệ phương trinh
do đó ta chỉ cần xét khi x,y,z khác 0
Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x+y=z(xy-1)$
Mặt khác: $\frac{156x}{x^2+1}=\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}$ nên
để hệ có nghiệm thì x,y,z phải cùng dấu.
Xét hai trường hợp:
TH1: $xy=1 \Rightarrow x+y=0$ ( vô lí do x,y cùng dấu)
TH2: $xy\neq 1\Rightarrow z=\frac{x+y}{xy-1}\Rightarrow z=\frac{x+y}{xy-1}$
Do đó: $\frac{156x}{x^2+1}=\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}$
$\Leftrightarrow \frac{780x}{5(x^2+1)}=\frac{780y}{12(y^2+1)}=\frac{z}{13(z^2+1)}$$\Leftrightarrow \frac{x}{5(x^2+1)}=\frac{y}{12(y^2+1)}=\frac{z}{13(z^2+1)}$
$\Leftrightarrow \frac{x}{5(x^2+1)}=\frac{y}{12(y^2+1)}=\frac{(x+y)(xy-1)}{13(x^2+1)(y^2+1)}$
Từ đó:
$13x(y^2+1)=5(x+y)(xy-1) ; 12x(y^2+1)=5y(x^2+1)$
Do vậy:
$\left\{\begin{matrix} 12x(y^2+1)=5y(x^2+1) & & \\ 13xy^2+13x)=5(x^2y-x+y^2x-y)& & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5y(x^2+1)=12x(y^2+1) & & \\ x(8y^2+18)=5y(x^2-1) & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{4y^2+9}{6(y^2+1)}=\frac{x^2-1}{x^2+1} \Rightarrow 4x^2y^2+4y^2+9x^2+9=6x^2y^2-6y^2+6x^2-6
\Rightarrow x^2(2y^2-3)-10y^2-15=0 $
lại có : $12x(y^2+1)=5y(x^2+1)\Rightarrow 144x^2(y^2+1)^2=25y^2(x^2+1)^2$
Đặt
$x^2=a(a>0);y^2=b(b>0)$
Do vậy ta có hệ sau:
$\left\{\begin{matrix} a(2b-3)=10b+15 & & \\ 144a(b+1)^2=25b(a+1)^2& & \end{matrix}\right.$
Nếu $b=\frac{3}{2}\Rightarrow 10b+15=0\Rightarrow b=\frac{-3}{2}$ ( vô lí) do vậy $b\neq \frac{3}{2}$
từ đó: $a=\frac{10b+15}{2b-3}$ $\Rightarrow 144.\frac{10b+15}{2b-3}.(b+1)^2=25b(\frac{10b+15}{2b-3}+1)^2=25b(\frac{12(b+1)}{2b-3})^2=25.144.b.(b+1)^2.\frac{1}{(2b-3)^2}\Rightarrow 10b+15=\frac{25b}{2b-3}\Rightarrow 20b^2-30b+30b-45=25b\Rightarrow 20b^2-25b-45=0\Rightarrow b=\frac{9}{4} ; b=-1$
do b>0 nen b=-1 loại , vậy b=$\frac{9}{4}\Rightarrow y=\frac{3}{2};y=\frac{-3}{2}$

Với $y=\frac{3}{2}\Rightarrow x=5;z=1$
Với $y=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=-5;z=-1$

Vậy hệ phương trinh có :
(x,y,z)=(5;$\frac{3}{2}$;z=1)
(x,y,z)=(-5;$-\frac{3}{2}$;z=-1)
và là các hoán vị của 0

 

Hoán vị của 0 là thế nào?

 

S = 7+3*10 = 37
















 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 21:53
Chấm bài

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#9
huy thắng

huy thắng

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz (1) & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1} (2)& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve


Đây là lời giải của mình
Đặt $x,y,z$ lần lượt là $\tan{a},\tan{b},\tan{c} \forall a,b,c \in{ (0;\pi) }$
$$ (1) <=> \tan{a}+\tan{b}+\tan{c}=\tan{a}\tan{b}\tan{c} $$
$=> a+b+c=\pi =>$ a,b,c là 3 góc của 1 tam giác
Từ đó:
$$(2) <=>\frac{156\tan{a}}{\tan{a}^2+1} =\frac{65\tan{b}}{\tan{b}^2+1}=\frac{60\tan{c}}{\tan{c}^2+1} $$
$$<=>\left\{\begin{matrix} 156\sin{a}\cos{a}=65\sin{b}\cos{b} & & \\ 65\sin{b}\cos{b} =60\sin{c}\cos{c} & & \end{matrix}\right. <=> \frac{\sin{2a}}{5}=\frac{\sin{2b}}{12}=\frac{\sin{2c}}{13}$$
đặt góc $2a,2b,2c$ là $r,s,t$ và tương ứng với 3 cạnh $a',b',c'$

Có tam giác có góc là $2a,2b,2c$ à?
Ta có $$\frac{m}{\sin{M}}=\frac{n}{\sin{N}}=\frac{q}{\sin{Q}} <=> \frac{a'}{5}= \frac{b'}{12}= \frac{c'}{13}$$
$=>$ tam giác $ ABC$ vuông tại $t$ $=> \widehat{t}=90 => \widehat{C}=\frac{t}{2}=45.=>z=\tan{C}=1$
$$<=>\frac{156\tan{a}}{\tan{a}^2+1}=\frac{65\tan{b}}{\tan{b}^2+1}=\frac{60\tan{45}}{\tan{45}^2+1}<=>\frac{156\tan{a}}{\tan{a}^2+1}=\frac{65\tan{b}}{\tan{b}^2+1}=30 (4)$$
$$(4)=>156x=30x^2+30 <=> x=5, ( 1) => y=\frac{3}{2} V x=\frac{1}{5}. (1) =>y=\frac{-3}{2}$$
Vậy tập nghiệm của pt là (${x,y,z}$) $\in$ (${5;\frac{3}{2};1}$); ($\frac{1}{5};\frac{-3}{2};1$)
$đpcm$

 

Điểm bài: 3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 22:03
Chấm bài

Hình đã gửi


#10
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cận kề khu vực xuống hạng :D. Làm liều bài này.


Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz(1) & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}(2)& & \end{matrix}\right.$$

Đề thi của bibitsubomi 9fxshiftsolve



Từ PT (1) ta có thể đặt $\left\{\begin{matrix} x=tanA\\ y=tanB\\ z=tanC \end{matrix}\right.$ với $A+B+C=\pi$

Thay vào (2) ta có :$156sinA.cosA=65sinB.cosB=60sinC.cosC$

<=>$156sin2A=65sin2B=60sin2C$.

Đến đây tự nhiên ko ra nữa :D. Thầy cứ chấm đến đây đi, nếu ra em gửi tiếp.

 

Điểm bài: 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 22:04
Chấm bài

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#11
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Đặt $\left\{\begin{matrix}
x=\tan A & \\
y=\tan B & \\
z=\tan C &
\end{matrix}\right. $ Với $ A,B,C \in \left [ -\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ]$
Điều kiện $\cos A,B,C \neq 0$
Khi đó $x+y+z=xyz$
$$\Leftrightarrow \tan A +\tan B + \tan C =\tan A \tan B \tan C$$
$$\Leftrightarrow -\tan A=\tan (B+C) \\ \Leftrightarrow A+B+C=k\pi $$
Do điều kiện của A,B,C nên $ A+B+C=\pi $
Xét $\sin 2A=0$
$ \Rightarrow \sin A =0$
$ \Rightarrow \tan A=0 \\ \Rightarrow x=0$
$ \Rightarrow x=y=z=0 $
Thử lại $x=y=z=0$ là 1 bộ nghiệm
Xét $ \sin A,B,C \neq 0$
Ta có $\frac{156x}{x^{2}+1}=78\sin 2A$
Tương tự ta có $156\sin 2A=65\sin 2B=60\sin 2C$
Ta có $2A=2\pi -2B-2C \Rightarrow \sin 2A=\sin (2\pi -2B-2C)=-\sin (2B+2C)$
$$\Rightarrow 156\sin 2A=-156(\sin 2B\cos 2C + \sin 2C\cos 2B) $$
$$\Rightarrow 65\sin 2B=-156\sin 2B\cos 2C -169\sin 2B\cos 2C \ ( do \sin 2C=\frac{13}{12}\sin 2B) $$
$$\Rightarrow 65 + 165\cos 2C +169\cos 2C =0$$

SAI
Tương tự ta có hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
65+156\cos 2C + 169\cos 2B=0\\
60+65\cos 2A +25\cos 2C=0 \\
156+60\cos 2B + 144\cos 2A =0
\end{matrix}\right.$$
Giải ta có
$$\left\{\begin{matrix}
\cos 2A =-\frac{12}{13}\\
\cos 2B= -\frac{5}{13}\\
\cos 2C= 0
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2=25\\
y^2=\frac{9}{4}\\
z^2=0
\end{matrix}\right.$$
Thử lại ta có các bộ nghiệm $(x,y,z) = (0,0,0) , (5,$\frac{3}{2}$,0) ,(-5,$\frac{-3}{2}$,0)$

 

Điểm bài: 3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-03-2013 - 22:11
Chấm bài


#12
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#13
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Chán thật , giải đến đó rồi mà bí. Bài này năm ngoái làm rồi, nhưng chẳng nhớ :D.

Bài này có 2 đáp án, không biết cái nào đúng nữa? Các thầy chấm xong rồi đăng bài giải luôn cho tụi em tham khảo.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#14
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
Kết luận sai nghiệm :( ẩu quá




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh