Cho $a,b,c\geq 0$. CMR $\sum a^3\geq \sum a^2\sqrt{bc}$
$\sum a^3\geq \sum a^2\sqrt{bc}$
Bắt đầu bởi Issac Newton, 09-03-2013 - 08:15
#1
Đã gửi 09-03-2013 - 08:15
Issac Newton
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
- Khanh 6c Hoang Liet yêu thích
#2
Đã gửi 09-03-2013 - 09:29
tramyvodoi
-
- Thành viên
-
- 1044 Bài viết
Thượng úy
Ta có $a^{2}\sqrt{bc}\leq a^{2}(\frac{b+c}{2})\leq \frac{1}{2}(a.a.b+a.a.c)\leq \frac{1}{2}(\frac{a^{3}+a^{3}+b^{3}}{3}+\frac{a^{3}+a^{3}+c^{3}}{3})$Cho $a,b,c\geq 0$. CMR $\sum a^3\geq \sum a^2\sqrt{bc}$
Thực hiện 2 bđt tương tự rồi cộng tất cả theo vế ta được đpcm
- yeutoan11, I love Math forever, Khanh 6c Hoang Liet và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-03-2013 - 13:18
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $a,b,c\geq 0$. CMR $\sum a^3\geq \sum a^2\sqrt{bc}$
Áp dụng AM-GM ta cóTa có $a^{2}\sqrt{bc}\leq a^{2}(\frac{b+c}{2})\leq \frac{1}{2}(a.a.b+a.a.c)\leq \frac{1}{2}(\frac{a^{3}+a^{3}+b^{3}}{3}+\frac{a^{3}+a^{3}+c^{3}}{3})$
Thực hiện 2 bđt tương tự rồi cộng tất cả theo vế ta được đpcm
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3 \geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
Tương tự xây dựng 2 bđt còn lại rồi cộng lại ta có
$6(a^3+b^3+c^3) \geq 6(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$
$\Rightarrow Q.e.D$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
