Chủ đề này có 1 trả lời

[Issac Newton]

Với mọi $a,b$. CMR $\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton: 09-03-2013 - 08:19

[25 minutes]

Với mọi $a,b$. CMR $\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

Ta chứng minh BĐT thứ hai :
$\frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)} \leq \frac{1}{2}$
BĐT đã cho tương đương với
$1+a^2+b^2+a^2b^2+2ab(a+b)-2(a+b) \geq 0$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+b=x\\ab=y

\end{matrix}\right.$
BĐT đã cho trở thành $x^2+2x(y-1)+(y-1)^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)^2 \geq 0$
Vậy bđt được chứng minh xong
Dấu = xảy ra khi $x+y=1 \Leftrightarrow a+b+ab=1$
BĐT thứ nhất tương đương với $(x-y+1)^2 \geq 0$