Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán:
Cho dãy số nguyên $\{a_i\}^{n}_{i=1}$ thỏa mãn $a_{i_{1}}+a_{i_{1}}+....+a_{i_{k}}\neq 0\, \forall 1\leq i_1<i_2<...<i_{k}\leq n$.
Chứng minh ta có thể phân hoạch $\mathbb{N}^{*}$ thành 1 số tập hữu hạn sa0 ch0 $\sum^{n}_{i=1}a_i x_i\neq 0$ nếu $\{x_i\}^{n}_{i=1}$ thuộc cùng 1 tập.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-03-2013 - 00:48

[ntphuchus]

Gọi $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn $p>|a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_k}|$ với mọi $1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n$. 

Vì mọi $m\in\mathbb{N}^{*}$ đều viết được duy nhất dưới dạng $p^kq$ $(k,q\in\mathbb{N}, (q,p)=1)$ nên $\mathbb{N}^{*}$ có thể được phân hoạch thành các $S_i=\{m=p^kq : q\equiv i \pmod p \}$ với $i=1,2,...,p-1$.

Ta chứng minh các tập $S_1,S_2,...,S_{p-1}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thật vậy, phản chứng, giả sử tồn tại $x_1,x_2,...,x_n$ cùng thuộc một tập $S_t$ sao cho $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0$.

Giả sử $x_1=p^{k_1}q_1, x_2=p^{k_2}q_2,...,x_n=p^{k_n}q_n$ thì $q_1,q_2,...,q_n\equiv t \pmod p$. Thay vào ta có : $a_1p^{k_1}q_1+a_2p^{k_2}q_2+...+a_np^{k_n}q_n=0$.

Đặt $s=\min \{k_1,k_2,...,k_n\}$ và $i_1,i_2,...,i_r$ là tất cả các chỉ số mà $k_{i_1}=k_{i_2}=...=k_{i_r}=s$.

Khi đó ta có : $0=a_1p^{k_1}q_1+a_2p^{k_2}q_2+...+a_np^{k_n}q_n\equiv a_{i_1}p^{k_{i_1}}q_{i_1}+a_{i_2}p^{k_{i_2}}q_{i_2}+...+a_{i_r}p^{k_{i_r}}q_{i_r} \pmod {p^{s+1}}$ $\Longrightarrow$ $p^{s+1} | a_{i_1}p^{s}q_{i_1}+a_{i_2}p^{s}q_{i_2}+...+a_{i_r}p^{s}q_{i_r}$ $\Longrightarrow$ $p | a_{i_1}q_{i_1}+a_{i_2}q_{i_2}+...+a_{i_r}q_{i_r}$ $\Longrightarrow$ $0\equiv a_{i_1}q_{i_1}+a_{i_2}q_{i_2}+...+a_{i_r}q_{i_r} \equiv a_{i_1}t+a_{i_2}t+...+a_{i_r}t \pmod p$ $\Longrightarrow$ $p|a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_r}$ (vì $(t,p)=1$).

Mà $p>|a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_r}|$ $\Longrightarrow$ $a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_r}=0$ (mâu thuẫn với giả thiết bài toán).

Do đó bài toán được chứng minh.

P/s: Có thể thay điều kiện $a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_k}\ne 0 \forall 1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n$ thành điều kiện nhẹ hơn là $a_1+a_2+...+a_n\ne 0$.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntphuchus: 28-04-2020 - 13:51