Chủ đề này có 6 trả lời

[tunxclg]

Cái bài tích phân này...Thầy để cả lớp tìm cách làm mà mãi không ai ra cả...Có ai có cách giải giúp mình coi nhé.!
$$\int_{0}^{\pi}\frac{x+cosx}{4-sin^2x}dx$$

Mình cảm ơn nhiều.

[zipienie]

Đổi biến $t=\pi-x$, sau đó bạn có thể làm một cách dễ dàng
Ta đổi biến như trên vì áp dùng tính chất sau của tích phân
$$\int_{a}^{b} f(x) dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
Chứng minh tích chất trên cũng rất đơn giản, xét phép đổi biến $t=a+b-x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 10-03-2013 - 19:25

[tunxclg]

Bạn ơi...thầy cũng giảng phương pháp này..nhưng đến chỗ xuất hiện 1 lần B với 1 tích phân pi(dx)/(4-(sin^2)x) mình không biết giải tiếp..bạn giúp mình phần này điππ

[tunxclg]

Đổi biến $t=\pi-x$, sau đó bạn có thể làm một cách dễ dàng
Ta đổi biến như trên vì áp dùng tính chất sau của tích phân
$$\int_{a}^{b} f(x) dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
Chứng minh tích chất trên cũng rất đơn giản, xét phép đổi biến $t=a+b-x$

LÀm tiếp như nào bạn giúp mình

[zipienie]

$x=\pi-t \implies dx=-dt$
Với $x=0$ thì $t=\pi$, với $x=\pi$ thì $t=0$
Vậy tích phân đã cho trở thành
$I=-\int_{\pi}^{0} \dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( chú ý là $\cos(\pi-t)=-\cos t$ )
$=\int_{0}^{\pi}\dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( ở đây ta đã dùng tích chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$ )
Vậy ta có
$I=\int _{0}^{\pi}\dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận chứ không phụ thuộc vào chữ được chọn làm biến ( ví dụ $\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du=...$ )
Theo đó ta được $I= \int_{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-I $
$\Leftrightarrow 2I= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt $
$= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4\sin^2 t+3\sin^2 t}dt (*)$
Trong đó $I=\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Đến tích phân (*) thì bạn chia cả tử và mẫu với $cos^2 t$ sau đó đặt ẩn $u=\tan t$ và làm tiếp. ( mình ngại đánh LaTex quá )
@ Mod: Latex của diễn đàn có lỗi thì phải

[tunxclg]

$x=\pi-t \implies dx=-dt$
Với $x=0$ thì $t=\pi$, với $x=\pi$ thì $t=0$
Vậy tích phân đã cho trở thành
$I=-\int_{\pi}^{0} \dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( chú ý là $\cos(\pi-t)=-\cos t$ )
$=\int_{0}^{\pi}\dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( ở đây ta đã dùng tích chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$ )
Vậy ta có
$I=\int _{0}^{\pi}\dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận chứ không phụ thuộc vào chữ được chọn làm biến ( ví dụ $\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du=...$ )
Theo đó ta được $I= \int_{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-I $
$\Leftrightarrow 2I= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt $
$= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4\sin^2 t+3\sin^2 t}dt (*)$
Trong đó $I=\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Đến tích phân (*) thì bạn chia cả tử và mẫu với $cos^2 t$ sau đó đặt ẩn $u=\tan t$ và làm tiếp. ( mình ngại đánh LaTex quá )
@ Mod: Latex của diễn đàn có lỗi thì phải

$\int _{0}^{\pi}\frac{\pi }{4\sin^2 t+3\sin^2 t}dt$ ..................................................................

[tunxclg]

$x=\pi-t \implies dx=-dt$
Với $x=0$ thì $t=\pi$, với $x=\pi$ thì $t=0$
Vậy tích phân đã cho trở thành
$I=-\int_{\pi}^{0} \dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( chú ý là $\cos(\pi-t)=-\cos t$ )
$=\int_{0}^{\pi}\dfrac{\pi-t-\cos t}{4-\sin^2 t} dt$ ( ở đây ta đã dùng tích chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$ )
Vậy ta có
$I=\int _{0}^{\pi}\dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận chứ không phụ thuộc vào chữ được chọn làm biến ( ví dụ $\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du=...$ )
Theo đó ta được $I= \int_{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt-I $
$\Leftrightarrow 2I= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4-\sin^2 t}dt $
$= \int _{0}^{\pi} \dfrac{\pi }{4 \sin^2 t+3 \sin^2 t}dt (*)$
Trong đó $I=\int_{0}^{\pi}\dfrac{t+\cos t}{4-\sin^2 t}dt$
Đến tích phân (*) thì bạn chia cả tử và mẫu với $cos^2 t$ sau đó đặt ẩn $u=\tan t$ và làm tiếp. ( mình ngại đánh LaTex quá )
@ Mod: Latex của diễn đàn có lỗi thì phải