Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Cho các số nguyên a,b thỏa mãn $2^{n}a+b$ là số chính phương (với mọi n tự nhiên).Chứng minh rằng a=0

[nguyenta98]

Cho các số nguyên a,b thỏa mãn $2^{n}a+b$ là số chính phương (với mọi n tự nhiên).Chứng minh rằng a=0

Giải như sau:
Đặt $2^na+b=x^2$ với $x \in N^*$
Xét $2^{n+2k}a+b$ cũng là số chính phương (do theo điều kiện đề bài thì $2^n.a+b$ là số chính phương với mọi $n$)
Do đó $2^{n+2k}a+b=y^2$
Ta có $2^{n+2k}a+b.2^{2k}=(2^kx)^2$
Như vậy $y^2=2^{n+2k}a+b<2^{n+2k}a+b.2^{2k}=(2^kx)^2$ $(1)$
Ta lại thấy $y\le 2^kx-1$ vì nếu $y>2^kx-1$ thì do $(1)$ $2^kx-1<y<2^kx$ vô lí do đó $y\le 2^kx-1$
Như vậy $2^{n+2k}a+b=y^2\le (2^kx-1)^2=2^{2k}x^2-2.2^kx+1=2^{n+2k}a+b.2^{2k}-2.2^k.x+1$
Suy ra $2^{n+2k}a+b\le 2^{n+2k}a+b.2^{2k}-2.2^k.x+1 \Rightarrow 2.2^kx\le b(2^{2k}-1)+1<b.2^{2k}$
$\Rightarrow 4.2^{2k}x^2<b^2.2^{4k} \Rightarrow 4(2^{n+2k}a+b)<b^2.2^{4k}$
$\Rightarrow 2^{n+2k}a+b<b^2.2^{4k-2}$
Nhưng điều này không đúng khi chọn $n$ đủ lớn để $2^n>b^2.2^{4k-2}$ do đó mâu thuẫn, điều này chỉ xảy ra khi $a=0$
Vậy $a=0$ và dễ cm $b$ là số chính phương, đây là $đpcm$