Chủ đề này có 4 trả lời

[trandaiduongbg]

Cho x,y,z là các số thực thoả mãn: x+y+z=1. Tìm GTNN của biểu thức P=$\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}$

[nguyensidang]

Ta có: P=$\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}$
Áp dụng BĐT Svaxơ
$\Rightarrow P\geq \frac{(1+2+4)^{2}}{16(x+y+z)}$=$\frac{49}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}$ hay$\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{7}\\ y=\frac{2}{7}\\ z=\frac{1}{7}\\ \end{matrix}\right.$

em xin góp ý với bác là :nên gọi BĐT bác vừa sử dụng là Schwarz hoặc Cauchy-schwarz dạng engel

[thangemmh]

Hoặc tìm điểm rơi
$\frac{1}{16x}+\frac{784x}{4096}\geq2\sqrt{\frac{1}{16x}.\frac{784x}{4096}}=\frac{7}{32}$
Rồi ta làm tượng tư vs các số trên

Cái BĐT Schwarz hay svac-xơ gì đấy ( tùy người gọi) thì bây giờ đi thi (Thi HSG hay ĐH....) phải CM nữa. Cứ dùng cách này là tốt nhất cơ bản thôi, chứ không khó lắm, không thì phải CM thêm như vầy:
Xét 2 dãy số:
\[
\dfrac{a_1}{\sqrt{b_1}}+ \dfrac{a_2}{\sqrt{b_2}}+ \dfrac{a_3}{\sqrt{b_3}}+.....+ \dfrac{a_n}{\sqrt{b_n}}
\]
Và
\[
\sqrt{b_1}+ \sqrt{b_2}+ \sqrt{b_3}+.....+ \sqrt{b_n}
\]
Với a_1, a_2, a_3, ....., a_n và b_1, b_2, b_3,.....,b_n> 0 và n thuộc số tự nhiên
Áp dụng BĐT Buyakovsky cho 2 dãy số ta được:
\[
(\dfrac{a_1^2}{b_1}+ \dfrac{a_2^2}{b_2}+ \dfrac{a_3^2}{b_3}+.....+ \dfrac{a_n^2}{b_n})(b_1+ b_2+ b_3+.....+b_n) \ge (a_1+ a_2+ a_3+.....+ a_n)^2
\]
\[
<=>\dfrac{a_1^2}{b_1}+ \dfrac{a_2^2}{b_2}+ \dfrac{a_3^2}{b_3}+.....+ \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+ a_2+ a_3+.....+ a_n)^2}{b_1+ b_2+ b_3+.....+b_n}(đpcm)
\]
Dấu "=" xảy ra khi:
\[
\dfrac{a_1}{b_1}= \dfrac{a_2}{b_2}= \dfrac{a_3}{b_3}=.....= \dfrac{a_n}{b_n}
\]

[thangemmh]

không phải đâu bạn BCS với Cauchy sử dụng mà không cần CM cũng không sao, thầy mình đi chấm thi bảo thế.

[tuaneee111]

Bất đẳng thức Schwars chắc chưa phổ biến lắm nhỉ