Chủ đề này có 84 trả lời

[phanhak7dl]

Ta có $$a_{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} a_k = a_1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{2k}+a_{2k+1}\right)=1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(3a_{2k}+1\right)=n+1+3\sum\limits_{k=1}^{n} a_{2k}$$
Đặt $s_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_{2k}$ thì hệ đã cho trở thành $\begin{cases}
s_1=1 \\
s_{n+1}-s_n=n+1+3s_n
\end{cases}$
Từ hệ này ta tìm được $s_{n+1}=4s_n+(n+1)$
Đặt $t_n=s_n+\dfrac{3n+4}{9}$ thì ta có$t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_{n+1}=4t_n$.
Nên $t_n=\dfrac{4^{n+1}}{9},s_n=\dfrac{4^{n+1}-3n-4}{9}$ và $a_{2n}=s_{n}-s_{n-1}=\dfrac{4^{n+1}-4^{n}-3}{9}$.
Suy ra $a_{2n}=\dfrac{4^n-1}{3}$ và $a_{2n+1}=2a_{2n}+1=\dfrac{2.4^n+1}{3}$.
Do đó $a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$

thầy ơi,thầy có tài liệu dãy số up lên cho m.n tham khảo với ạ

[duongminhtrung]

Một số bài dãy
1.Un=3/2.5/4.9/8...(2^n+1)/(2^n)
CM Un có giới hạn
2.Un=căn bậc ba của n.[1/2.4/5...(3n+1)/(3n+2)]
CM Un có giới hạn
3.U1=2,U(n+1)=[n.(Un)^2]/[1+(n+1).Un]
Tính lim(U2/U1+U3/U2+...+Un/[U(n-1)]
4.U1=1/2,U(n+1)=Un+(Un)^2/(n+1)^2
CM dãy có giới hạn
5.U1=2,U(n+1)=(n.Un)/(1+n.Un)+1/(n+1)
Tính lim (Un)^n

[Le Thi Van Anh]

cho dãy $U_{n}$ xác định bởi $U_{1}$=1

 $U_{n+1}=\sqrt{U_{n}^{2}+2U_{n}+3}-\sqrt{U_{n}^{2}-2U_{n}+3}$

CMR: dãy $U_{n}$ có giới hạn hữu hạn. tìm giới hạn đó

[An Infinitesimal]

Cho dãy $U_{n}$ xác định bởi $U_{1}$=1

 $U_{n+1}=\sqrt{U_{n}^{2}+2U_{n}+3}-\sqrt{U_{n}^{2}-2U_{n}+3}$

CMR: dãy $U_{n}$ có giới hạn hữu hạn. tìm giới hạn đó.

 

Trong bài này, dùng ký hiệu $\{u_n\}$ thay vì $\{U_n\}$.

 

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2-2x+3}$ trên $\mathbb{R}.$

Ta dễ thấy f là hàm đơn điệu tăng.

($f'(x)=g(x+1)-g(x-1)$, với $g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ là hàm tăng trên $\mathbb{R}.$)

Nhận xét:

• Nếu $u_n \le a:= \frac{2\sqrt{3}}{3}$ nên $u_{n+1}=f(x_) \le f(a)=a$. Vì $u_1\le a$ nên $u_n\le a \, \forall n\in \mathbb{N}.$
• Hơn nữa, vì $u_1=1<f(1)=u_2$ và $ f $ đơn điệu tăng nên $ \{u_n\} $ là dãy tăng.

Vì thế $\{u_n\}$ là dãy hội tụ. Và ta có thể chỉ ra giới hạn của dãy này là $a$.

[Nguyen Danh]

Khai đao bài số 10

(Theo ngu ý của mình thì công thức đã cho phải xác định từ $n=1$ trở đi, nếu không thì $x_3$ xác định kiểu gì? )

Từ đề bài ta có: $nx_{n+2}=(n-1)x_{n+1}+x_n\quad(*)$
Giả sử tồn tại $n$ để $x_{n+2}=x_{n+1}$ thì từ $(*)$ suy ra $x_{n+2}=x_{n+1}=x_{n}=...=x_2=x_1\Rightarrow $ vô lý!
Do đó dãy $\{x_n\}$ "không dừng".
Và từ $(*)$ ta có thể viết:
$\quad\dfrac{x_{n+2}-x_{n+1}}{x_{n+1}-x_{n}}=\dfrac{(-1)}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}=\dfrac{(-1)}{n-1}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{(-1)^n}{n!}$
$\Rightarrow x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{2}-x_{1}=-\dfrac{(-1)^{0}}{(0)!}$
$\Rightarrow x_{n+2}=x_1-\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$

Do đó $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+2}=x_1-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=2012-e^{-1}$

Giải thử bài số 11

Ta có: $x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2>x_n^2+2$
Suy ra:
$x_n^2\;\;>x_{n-1}^2+2$
$x_{n-1}^2>x_{n-2}^2+2$
$\cdots$
$x_1^2>x_0^2+2$
___________________
$\Rightarrow x_n^2>x_0^2+2n=25+2n\quad(**)$
Do đó: $x_{1000}^2>25+2000\Rightarrow x_{1000}>45$

Mặt khác từ $(**)$, ta cũng có:
$x_n^{-2}<\dfrac{1}{25+2n}<\dfrac{1}{2}\big(\log(25+2n)-\log(23+2n)\big)$

Spoiler

Chứng minh cái này không khó, nếu hỏi nó từ đâu ra thì lấy tích phân hàm $f(n)=\dfrac{1}{23+2n}$ trên đoạn $[0,1]$ khắc rõ

Và thế là ta có:
$x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2<x_n^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25+2n)-\dfrac{1}{2}\log(23+2n)$
Suy ra:
$x_{n}^2<x_{n-1}^2+2+\dfrac{1}{2}\log(23+2n)-\dfrac{1}{2}\log(21+2n)$
$\cdots$
$x_1^2<x_0^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25)-\dfrac{1}{2}\log(23)$
____________________________________________________
$\Rightarrow x_n^2<25+2n+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{23+2n}{23}\right)$

$\Rightarrow x_{1000}^2<25+2000+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{2023}{23}\right)<2029.5\Rightarrow x_{1000}<45.1$

sao em thử chỗ loga n=1 nó sai hả anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Danh: 26-06-2019 - 15:40