Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Dãy số-Giới hạn Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 83 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2013 - 20:09

Thân chào tất cả các bạn :)

Mình lập ra topic này vì 1 phần mình cảm thấy rất thu hút với dự án tổng hợp của bạn zipienie . (các bạn có thể xem qua topic này để biết thêm chi tiết) và bạn zipienie cũng đã nhờ mình đưa các bài toán mà bạn ấy đã tổng hợp được lên trên VMF này để thảo luận nhằm tiếp tục mở rộng và tổng quát,hay chí ít là tìm ra 1 lời giải mới các bài trên trang web mathlinks.ro . :)

Có thể 1 số trong các bạn đã từng down các file trong topic mà mình dẫn link ở trên,và đã biết được lời giải cho các bài toán mà mình sắp post đây ,nên mình thật sự mong là các bạn không đưa lên các lời giải đó nữa để chúng ta cố gắng tìm ra 1 lời giải khác,từ đó có thể mở rộng và các hướng phân tích bài toán,đúng với tinh thần mà mình và bạn zipienie hướng đến.

Cụ thể là mỗi tuần mình sẽ post lên VMF 4 bài toán sơ cấp (đa phần các bài toán đã có lời giải của pco-1 cao thủ nổi tiếng trên ML) chủ yếu thuộc các mảng :
  • Phương trình Hàm.
  • Đại Số (PT-HPT-BPT) và các bài tính tổng.
  • Số học.
  • Dãy số-Giới hạn.
  • Đa thức.
  • Hình học.
  • Bất đẳng thức (Hình học + Đại Số).
Mỗi tuần ,vào buổi sáng ngày thứ 5 và buổi tối ngày Chủ Nhật ,mình sẽ post đề lên các topic và post lời giải cho các bài toán ở tuần trước đó,nhưng mình mong là trong 1 tuần chí ít ta có thể gặt hái được 1 số thành quả khác chứ không chỉ đơn thuần chờ đề và giải. :)
(Các bài toán không phân biệt thứ tự khó,dễ )

Và cũng mong các bạn đưa ra một lời giải hoàn chỉnh ,đừng chỉ nêu hướng giải. Đây là cách giúp cho chúng minh dễ tổng hợp lời giải một cách đầy đủ nhất.

Mong nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn,đặc biệt là các thầy cô và các bạn SV theo chuyên ngành Toán cũng như các bạn học sinh trong các đội tuyển HSG tỉnh hoặc quốc gia. :)

Mọi đóng góp ý kiến các bạn có thể post trực tiếp trong topic này,gửi tin nhắn trên diễn đàn cho mình(hay bạn zipienie) hoặc gửi qua địa chỉ e-mail sau : [email protected]

Nào,chúng ta cùng mở màn bằng bài toán sau :

Bài toán 1:
Tìm CTTQ của dãy $\{a_{n} \}_{n \ge 1}$ được xác định bởi :

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1} = {a_2} = 1\\
{a_{2n + 1}} = 2{a_{2n}} + 1\\
{a_{2n + 2}} = {a_1} + ... + {a_{2n + 1}}
\end{array} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 11:21

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2013 - 21:08

Bài toán 1:
Tìm CTTQ của dãy $\{a_{n} \}_{n \ge 1}$ được xác định bởi :

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1} = {a_2} = 1\\
{a_{2n + 1}} = 2{a_{2n}} + 1\\
{a_{2n + 2}} = {a_1} + ... + {a_{2n + 1}}
\end{array} \right.\]



Ta có $$a_{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} a_k = a_1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{2k}+a_{2k+1}\right)=1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(3a_{2k}+1\right)=n+1+3\sum\limits_{k=1}^{n} a_{2k}$$
Đặt $s_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_{2k}$ thì hệ đã cho trở thành $\begin{cases}
s_1=1 \\
s_{n+1}-s_n=n+1+3s_n
\end{cases}$
Từ hệ này ta tìm được $s_{n+1}=4s_n+(n+1)$
Đặt $t_n=s_n+\dfrac{3n+4}{9}$ thì ta có$t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_{n+1}=4t_n$.
Nên $t_n=\dfrac{4^{n+1}}{9},s_n=\dfrac{4^{n+1}-3n-4}{9}$ và $a_{2n}=s_{n}-s_{n-1}=\dfrac{4^{n+1}-4^{n}-3}{9}$.
Suy ra $a_{2n}=\dfrac{4^n-1}{3}$ và $a_{2n+1}=2a_{2n}+1=\dfrac{2.4^n+1}{3}$.
Do đó $a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$
Hình đã gửi

#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2013 - 21:20

Đặt $t_n=s_n+\dfrac{3n+4}{9}$ thì ta có$t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_{n+1}=4t_n$.

Thầy Hùng có thể giải thích cho cách đặt này được không ạ ? :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-03-2013 - 21:21

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2013 - 21:32

Thầy Hùng có thể giải thích cho cách đặt này được không ạ ? :)

PT dưới $s_{n+1}-s_n=n+1+3s_n \iff s_{n+1}=n+1+4s_n$
nên tìm cách đặt nhằm loại bỏ $n$ khỏi đẳng thức và trở thành $t_{n+1}=4t_n$


Cách tìm là hệ số bất định. Giả sử $t_n=s_n+an+b\implies t_{n+1}=s_{n+1}+a(n+1)+b$
Ta cần $t_{n+1}=4t_n$ tức là $s_{n+1}+a(n+1)+b=4(s_n+an+b)$
Biến đổi $s_{n+1}=3an+3b-a+4s_n$ Dùng đồng nhất $\begin{cases} 3a=1 \\ 3b-a=1 \end{cases}$ giải ra $a=\dfrac13, b=\dfrac49$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 10-03-2013 - 22:29

Hình đã gửi

#5 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 11:09

Có lẽ mình sẽ thay đổi lịch up đề vì đề bài nhiều quá :wacko: Phải làm nhanh chút để cho kịp...

Cụ thể,vào mỗi tuần,cứ đúng buổi sáng thứ 5 và buổi tối Chủ Nhật;mình sẽ up đề và lời giải cho bài trước đó. Số lượng đề up lên vẫn giữ nguyên là 4.Như vậy mỗi tuần chúng ta sẽ có 8 bài toán để thảo luận và nghiên cứu,đưa ra cách giải mới.

Các bạn vẫn có thể tiếp tục thỏa luận bài toán cũ ngay cả khi đã có đề cho bài toán mới. Và có thể mình sẽ nhờ đến sự giúp đỡ của các ĐHV khác.ĐHV nào muốn xung phong quản lý phụ các topic cùng mình thì nhắn tin trên VMF này hay qua Yahoo :nguyenbaophuc0905 nhé .

Thân chào các bạn. :)

P.s: Lời giải của thầy Hùng cũng là lời giải của pco .Mong chờ các cách giải khác hoặc những mở rộng,tổng quát ,phân tích bài toán từ các bạn. :icon12:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 11:13

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-03-2013 - 17:34

Xin lỗi các bạn vì đã trễ hẹn :P Bù lại ta sẽ thảo luận 2 bài toán :)

Bài toán 2: Cho 2 dãy được xác định như sau :

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2,{y_1} = 1\\
{x_{n + 1}} = x_n^2 + 1\\
{y_{n + 1}} = {x_n}{y_n}
\end{array} \right.$$
Hãy chứng minh rằng $\frac{x_{n}}{y_{n}}<\frac{651}{250}$

Bài toán 3: Tìm CTTQ của dãy $\{a_{n} \}_{n \ge 0}$ được xác định bằng công thức :

$$\left\{ \begin{array}{l}
{a_0} = 1\\
{a_{n + 1}} = \frac{a_n^4 + 12a_n^2 + 4}{4a_n^3 + 8{a_n}} \quad n \ge 0
\end{array} \right.$$

Nào,mời các bạn chém và cho ý kiến. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-03-2013 - 12:54

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#7 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-03-2013 - 00:00

Xin lỗi các bạn vì đã trễ hẹn :P Bù lại ta sẽ thảo luận 2 bài toán :)

Bài toán 2: Cho 2 dãy được xác định như sau :

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2,{y_1} = 1\\
{x_{n + 1}} = x_n^2 + 1\\
{y_{n + 1}} = {x_n}{y_n}
\end{array} \right.$$
Hãy chứng minh rằng $\frac{x_{n}}{y_{n}}<\frac{651}{250}$


Biến đổi $$\frac{x_n}{y_n}=\frac{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\frac{1}{y_n}=\frac{x_1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\frac{1}{y_3}+\cdots+\frac{1}{y_n}=x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1x_2}+\cdots+\frac{1}{x_1x_2...x_{n-1}}$$
Ta cần chứng minh $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1x_2}+\cdots+\frac{1}{x_1x_2...x_{n-1}}<\frac{151}{250}$$
với $x_1=2, x_{n + 1} = x_n^2 + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 15-03-2013 - 13:45

Hình đã gửi

#8 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 11:00

Phép biến đổi của Thầy Hùng chỉ mới đưa ta đi được khoảng 1/3 đoạn đường thôi :P Cũng mong các bạn tham gia tích cực hơn.
Các bạn luôn có thể tiếp tục thảo luận các bài toán cũ ngay cả khi đã có đề mới. :)

Sau đây là lời giải chính thức cho 2 bài toán trên :

Lời giải bài toán 2:
Phép biến đổi tương tự với thầy Hùng.Như vậy ta cần chứng minh :
$$S = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{x_i}} }}} < \frac{{151}}{{250}}$$

Với $a>1$,đặt $f(a) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{a^{{2^k}}}}}} $.

Vì $x_{n+1}>x_{n}^2$ nên $x_{n+k}>x_{n}^{2^{k}}$ và chúng ta có thể viết $\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{x_{n + i - 1}}} }}} < {x_n}f({x_n})$

Vậy $S < \sum\limits_{k = 1}^p {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{x_i}} }}} + \frac{{{x_{p + 1}}f({x_{p + 1}})}}{{\prod\limits_{i = 1}^p {{x_i}} }}$

Mặt khác với $a>1$,ta dễ dàng chỉ ra rằng :
$$f(a) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{a^{{2^k}}}}}} < \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{2^k}\ln 2}}{{{a^{{2^k}}}}}} < \int_0^{ + \infty } {{2^x}} \ln 2{a^{ - {2^x}}}dx = \frac{1}{{a\ln a}}$$

Hay $af(a) < \frac{1}{{\ln a}}$,vậy thì $S < \sum\limits_{k = 1}^p {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{x_i}} }}} + \frac{1}{{\ln {x_{p + 1}}\prod\limits_{i = 1}^p {{x_i}} }} \quad (*)$

Với $p=4$ thì BĐT (*) trở thành $S < \sum\limits_{k = 1}^4 {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{x_i}} }}} + \frac{1}{{\ln {x_5}\prod\limits_{i = 1}^4 {{x_i}} }}$,hay :

$$\begin{array}{l}
S < \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}\ln {x_5}}}\\
\Leftrightarrow S < 0.60385227... < \frac{{151}}{{250}} = 0.604
\end{array}$$

Vấn đề là mình vẫn không hiểu tại sao lại có ý tưởng đặt ra hàm $f(a)$ như thế :wacko:

Lời giải bài toán 3:
Bài toán đã cho tương đương việc đi tìm ${f^{[n]}}(1)$(${f^{[n]}}(x)$ là hàm hợp),trong đó $f(x) = \frac{{{x^4} + 12{x^2} + 4}}{{4{x^3} + 8x}}$.

Dễ dàng kiểm tra được rằng $f(x) = g(g(x))$,trong đó $g(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x}}$, và như vậy thì ${a_n} = {g^{[2n]}}(1)$.

Viết $h(x) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}g(\sqrt 2 x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{2x}}$ thì ta được ${h^{[n]}}(x) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{g^{[n]}}(\sqrt 2 x)$.

Chú ý rằng $h\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}$ và do đó ta có ${h^{[n]}}\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = \frac{{{x^{{2^n}}} + 1}}{{{x^{{2^n}}} - 1}}$

Vậy ${g^{[n]}}\left( {\sqrt 2 \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = \sqrt 2 \frac{{{x^{{2^n}}} + 1}}{{{x^{{2^n}}} - 1}}$ và ${f^{[n]}}\left( {\sqrt 2 \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = \sqrt 2 \frac{{{x^{{4^n}}} + 1}}{{{x^{{4^n}}} - 1}}$.

Thay $\sqrt 2 \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$ thì suy ra $x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}$.

Từ đó ta tìm được công thức tổng quát của $a_{n}$ là $\boxed{{a_n} = \sqrt 2 \frac{{{{(1 + \sqrt 2 )}^{{4^n}}} + {{(1 - \sqrt 2 )}^{{4^n}}}}}{{{{(1 + \sqrt 2 )}^{{4^n}}} - {{(1 - \sqrt 2 )}^{{4^n}}}}}}$.

Còn về lời giải thì thật sự không hiểu khúc đặt hàm hợp. :wacko:

**********
Tiếp tục với đề mới :

Bài toán 4: Cho ${a_1} = 6,{a_{n + 1}} = (n + 1){a_n} - 5n$ với $n=1,2,...$.Tìm tất cả các số nguyên dương n để $a_{n}$ là lập phương của một số.

Bài toán 5: Tìm công thức tổng quát của $a_{n}$ nếu biết ${a_0} = 1,{a_{n + 1}} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + {2^{ - {2^n}}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

@supermember: Mathlinks là 1 đại dương, nhưng không phải là đại dương thì cứ vô tận khai thác, nên nếu gửi thì nên gửi cả những bài trên đó chưa giải dc :), sau đó nếu VMF có lời giải thì sẽ post lại trên đó theo tinh thần hợp tác- cùng phát triển.
@anh Lộc :anh đừng lo,phần PT hàm và Đa thức có nhiều bài chưa có lời giải lắm :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-03-2013 - 21:57

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#9 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2013 - 12:39

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1} = {a_2} = 1\\
{a_{2n + 1}} = 2{a_{2n}} + 1\\
{a_{2n + 2}} = {a_1} + ... + {a_{2n + 1}}
\end{array} \right.\]

Thầy Hùng đã đưa ra một cách giải rất khoa học cho bài này. Sau đây tôi xin trình bày một cách tiếp cận "sáng tạo" khác
Biến đổi hoàn toàn giống thầy Hùng ta được:
$\begin{cases}&a_{2n+2}=3\sum_{k=1}^n a_{2k}+n+1\\
\Rightarrow & a_{2n}=3\sum_{k=1}^{n-1} a_{2k}+n\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a_{2n+2}=4a_{2n}+1\\a_{2n+1}=2a_{2n}+1\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}a_{2n+2}=2a_{2n+1}-1\\a_{2n+1}=2a_{2n}+1\end{cases}\Rightarrow a_{n+1}=2a_n+(-1)^n\quad(\star)$

Đến đây ta đặt $a_{n}=b_{n}+x(-1)^n$ với $x$ lựa chọn thích hợp để có hệ số của $(-1)^n$ bằng $0$
Khi thay vào $(\star)$ ta có: $b_{n+1}-x(-1)^n=2b_n+2x(-1)^n+(-1)^n$

Dễ dàng tìm được $x=-\dfrac{1}{3}$ khi đó $\begin{cases}a_n=b_n-\dfrac{(-1)^n}{3}\\ b_1=\dfrac{2}{3}\\b_{n+1}=2b_n\end{cases}$

Suy ra $b_n=b_1.2^{n-1}=\dfrac{2^n}{3}$ và $\boxed{a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#10 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 18-03-2013 - 13:54

Bài toán 5: Tìm công thức tổng quát của $a_{n}$ nếu biết ${a_0} = 1,{a_{n + 1}} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + {2^{ - {2^n}}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Ta có ${a_{n + 1}} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}$
và $\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} \cdot {a_{n }} = \left( {\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_{n-1}} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}$
Được $${a_{n + 1}}-\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} \cdot {a_{n }}= \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}- \left( {\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_{n-1}} - \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}$$
$$\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=\left( {\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right)(a_n-a_{n-1})$$
Đặt $u_n=a_n-a_{n-1}$
Ta có $u_n=\left( {\frac{1}{{{2^{{2^{n-2}}}}}} + \frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}}} \right) u_{n-1}$
Nhận thấy $({\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}})^2 = \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}}$
Tính được $u_1=1$ nên $u_n=2 \left ( \frac{1}{2^{2^{n-1}}}-\frac{1}{2^{2^{n}}} \right )$
Mà $a_n= \sum_{i=1}^{n} u_n +a_0$
Vậy nên công thức tổng quát là $a_n=3-2^{2-2^{n}} $
Sai sót quá :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 18-03-2013 - 20:14

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#11 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2013 - 14:44

Thầy Hùng đã đưa ra một cách giải rất khoa học cho bài này. Sau đây tôi xin trình bày một cách tiếp cận "sáng tạo" khác
Biến đổi hoàn toàn giống thầy Hùng ta được:
$\begin{cases}&a_{2n+2}=3\sum_{k=1}^n a_{2k}+n+1\\
\Rightarrow & a_{2n}=3\sum_{k=1}^{n-1} a_{2k}+n\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a_{2n+2}=4a_{2n}+1\\a_{2n+1}=2a_{2n}+1\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}a_{2n+2}=2a_{2n+1}-1\\a_{2n+1}=2a_{2n}+1\end{cases}\Rightarrow a_{n+1}=2a_n+(-1)^n\quad(\star)$

Đến đây ta đặt $a_{n}=b_{n}+x(-1)^n$ với $x$ lựa chọn thích hợp để có hệ số của $(-1)^n$ bằng $0$
Khi thay vào $(\star)$ ta có: $b_{n+1}-x(-1)^n=2b_n+2x(-1)^n+(-1)^n$

Dễ dàng tìm được $x=-\dfrac{1}{3}$ khi đó $\begin{cases}a_n=b_n-\dfrac{(-1)^n}{3}\\ b_1=\dfrac{2}{3}\\b_{n+1}=2b_n\end{cases}$

Suy ra $b_n=b_1.2^{n-1}=\dfrac{2^n}{3}$ và $\boxed{a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}}$


Mấu chốt là đưa về cấp số nhân $b_{n+1}=2b_n$
bài trên thì $t_{n+1}=4t_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 18-03-2013 - 14:45

Hình đã gửi

#12 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 18-03-2013 - 17:36

Ta có ${a_{n + 1}} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}$
...
Vậy nên công thức tổng quát là $a_n= \sum_{i=0}^{n} \frac{4\cdot 3^{n-1}}{2^{2^{n}}}$
Mình không tính được tổng kia :D

Bài toán này pco chỉ để lại duy nhất 1 dòng thôi : "Quy nạp cho $a_{n}=3-2^{2-2^{n}}$". :mellow: ,vậy nên mình post lên VMF để tìm kiếm lời giải thích tại sao lại ra kết quả như vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-03-2013 - 17:56

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2013 - 18:55

Bài toán 5: Tìm công thức tổng quát của $a_{n}$ nếu biết ${a_0} = 1,{a_{n + 1}} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + {2^{ - {2^n}}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Đặt $b_n=a_n+1$ thì ta có:

$b_0=2$
$b_{n+1}=\left(1+2^{-2^n}\right)b_n\quad$ Do đó: $b_n=2\prod_{k=0}^{n-1}\left(1+2^{-2^{k}}\right)$

Hay $b_n=\dfrac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(1+2^{2^k}\right)}{2^{2^n-2}}$

Lưu ý, ta có công thức"khai triển" sau:

$\prod_{k=0}^{n-1}\left(1+2^{2^k}\right)=\sum_{k=0}^{2^{n}-1}2^k=2^{2^n}-1$

(Chứng minh sử dụng hệ đếm cơ số 2)

Như vậy thì: $b_n=\dfrac{2^{2^n}-1}{2^{2^n-2}}=4-2^{2-2^n}$

Và $\quad\boxed{a_n=b_n-1=3-2^{2-2^n}}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#14 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 18-03-2013 - 19:34

Bài toán 4: Cho ${a_1} = 6,{a_{n + 1}} = (n + 1){a_n} - 5n$ với $n=1,2,...$.Tìm tất cả các số nguyên dương n để $a_{n}$ là lập phương của một số.

Ta có $(n-1){a_{n + 1}} = (n^2 - 1){a_n} - 5n(n-1)$ và $n\cdot {a_{n}} = n^2\cdot {a_{n-1}} - 5n(n-1)$
từ đó ta được $(n-1)(a_{n+1}-a_n)=n^2(a_n-a_{n-1})$
Mà $a_2-a_1=1$ nên $(a_{n}-a_{n-1})=\frac{((n-1)!)^2}{(n-2)!}=(n-1)\cdot (n-1)!=n!-(n-1)!$
Công thức tổng quát của $a_n$ là $n!+5$
Để $a_n$ là số lập phương ta thấy $a_n=n!+5=k^3,k \in \mathbb{N} \Rightarrow 5|k \Rightarrow 25|\frac{n!}{5}+1$ nên $n=5$ thử lại thấy đúng. :D

Bài toán này pco chỉ để lại duy nhất 1 dòng thôi : "Quy nạp cho $a_{n}=3-2^{2-2^{n}}$". :mellow: ,vậy nên mình post lên VMF để tìm kiếm lời giải thích tại sao lại ra kết quả như vậy...

Bài số 5 cách làm thì đúng nhưng lại sai ở bước này

Được $${a_{n + 1}}-\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} \cdot {a_{n }}= \left( {1 + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_n} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}- \left( {\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}} + \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}} \right){a_{n-1}} - \frac{1}{{{2^{{2^n}}}}}$$
$$\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=\frac{3}{2^{2^n}}(a_n-a_{n-1})$$

Cho mình sửa ở trên nhé :D

Kết quả thì đúng rồi nhưng mình không hiểu dòng này lắm,bạn có thể giải thích được không ?

Ta nhân tử chung là 5 mà 5 là số nguyên tố nên $5|k$ còn lại là $\frac{n!}{5}+1$ (độ này mình hay nhầm thế :) ) phải chia hết cho $25$, nếu $n>9$ thì $25|\frac{n!}{5}$ loại còn lại thì thay vào ra được kết quả :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 18-03-2013 - 20:04

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#15 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 18-03-2013 - 19:44

Để $a_n$ là số lập phương ta thấy $a_n=n!+5=k^3,k \in \mathbb{N} \Rightarrow 5|k \Rightarrow 5|A^5_n+1$ nên $n=5$ thử lại thấy đúng. :D

Kết quả thì đúng rồi nhưng mình không hiểu dòng này lắm,bạn có thể giải thích được không ?
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-03-2013 - 21:03


Bài toán 4: Cho ${a_1} = 6,{a_{n + 1}} = (n + 1){a_n} - 5n$ với $n=1,2,...$.Tìm tất cả các số nguyên dương n để $a_{n}$ là lập phương của một số.

 

Lời giải bài toán 4:
Hệ thức truy hồi đã cho có thể viết lại thành ${a_{n + 1}} - 5 = (n + 1)({a_n} - 5)$.

Từ đó suy ra ${a_n} = 5 + n!$.

Với $n \le 5$ thì chỉ có $n=5$ thỏa mãn vì $a_5=125=5^3$.

Với $6 \le n \le 9$,ta cần phải có $n! \equiv 120\left( {\bmod 125} \right) \Leftrightarrow 6.7...n \equiv 1\left( {\bmod 25} \right)$,trường hợp này vô nghiệm.

Với $n \ge 10:{v_5}({a_n}) = 1$,do đó $a_{n}$ không thể là lập phương 1 số.

Vậy $n=5$ là giá trị duy nhất thỏa đề.

**********
Đề mới :

Bài toán 6: Xác định công thức tổng quát của dãy số sau:
$$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,...$$

Bài toán 7: Cho ${t_0} = 2,{t_1} = 3,{t_2} = 6$ và ${t_n} = (n + 4){t_{n - 1}} - 4n{t_{n - 2}} + (4n - 8){t_{n - 3}} \quad \forall n \ge 3$.Tìm CTTQ của $t_{n}$.

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#17 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-03-2013 - 23:44


Bài toán 6: Xác định công thức tổng quát của dãy số sau:
$$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,...$$
 

Nhìn thấy bài $6$ này, tôi không kìm nén được, đành phải xử luôn!
Nhóm lại dãy như sau:

$(1), (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 5, 6), ... $

Nhóm 1 có 1 số hạng, nhóm 2 có 2 số hạng, v.v...

Dễ thấy $u_n=n-\;$ số số hạng của các nhóm phía trước

Xét số hạng $u_n$, với chỉ số $n$ cho trước.
Giả sử chỉ số này thuộc nhóm $k$ nghĩa là: $1+2+...+(k-1)<n\le 1+2+...+k$

$\qquad\dfrac{k(k-1)}{2}+1\le n<\dfrac{k(k+1)}{2}+1$
$\Rightarrow \dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}{2}< k\le\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}$

$\Rightarrow k=\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor$

Do đó ta có: $\boxed{\displaystyle u_n=n-\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor}$
________________
P/s: Có khả năng biểu diễn được với công thức gọn hơn! Tạm thời tôi chưa nghĩ ra, nhưng không sao, kết quả trên vẫn là một đáp án của bài toán này!


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#18 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 23-03-2013 - 18:24

Đề mới :

Bài toán 6: Xác định công thức tổng quát của dãy số sau:
$$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,...$$
 

Sorry mọi người nhé . Mình sẽ giải thích cụ thể thế này :
Ta thấy dãy số sẽ như thế này $(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),(1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5,6),...$
Biểu diễn chúng như các tập hợp $A_1=\left \{ u_1 \right \},A_2=\left \{ u_2;u_3 \right \},...,A_n=\left \{ u_{\dfrac{n^2-n}{2}+1};u_{\dfrac{n^2-n}{2}+2};...;u_{\frac{n^2+n}{2}} \right \}$ và lần lượt các giá trị $A_n=\left \{ 1;2;3;...;n \right \}$
Ta sẽ có sơ đồ biểu diễn các khoảng tập hợp : $\large u_{\frac{(k-1)k}{2}}\overset{A_{k}}{ \rightarrow} u_{\left \lfloor \frac{k^2}{2} \right \rfloor}\overset{A_{k}}{\rightarrow} u_{\frac{k(k+1)}{2} }\overset{A_{k+1}}{\rightarrow} u_{\left \lfloor \frac{(k+1)^2}{2} \right \rfloor}$
Giả sử $u_n \in u_{\left \lfloor \frac{k^2}{2} \right \rfloor}\rightarrow  u_{\left \lfloor \frac{(k+1)^2}{2} \right \rfloor}$ thì $\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor=k,(1)$ đó là sự liên hệ cần thiết giữa số thứ tự của số hạng và giá trị của nó :)
Điều cần biết là $u_n$ nó ở trong tập nào. Từ $(1)$ có thể biết được $u_n$ trong khoảng nào.
Mỗi khoảng $u_{\left \lfloor \frac{k^2}{2} \right \rfloor}\rightarrow  u_{\left \lfloor \frac{(k+1)^2}{2} \right \rfloor}$ gồm các phần tử của hai tập hợp liền kề $A_k;A_{k+1}$ và có danh giới bởi $u_{\frac{k(k+1)}{2}}$
Giờ ta xét xem $2n > k(k+1)$ hay $2n < k(k+1)$
Cho hàm này $\large g(x)=\dfrac{(\left \lfloor x \right \rfloor)^2+\left \lfloor x \right \rfloor}{2}$
Ta tính $\large \Delta = \left \lfloor  \sqrt[2n+1]{n-g\left (\sqrt{2n}  \right)} \right \rfloor$
Dễ thấy $\large \Delta={-1;0;1}$ cái này dùng để xét dấu của biểu thức.
Nếu $u_n \in A_{k}$ thì $n=\dfrac{k^2-k}{2}+i$ và $i$ là giá trị của $u_n$
Vậy cần tìm vị trí phần tử cuối cùng của tập trước tập chứa nó.
Công thức tính vị trí đó là $g(\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor+\frac{1}{2}\cdot (\Delta -1)),(2)$
Với $2n > k(k+1) \Rightarrow \Delta=1$ thì $(2)$ thành $g(\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor) \Rightarrow u_n \in A_{k+1}$
Với $2n < k(k+1) \Rightarrow \Delta=-1$ thì $(2)$ thành $g(\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor-1) \Rightarrow u_n \in A_{k}$
Với $2n = k(k+1) \Rightarrow \Delta==0$ thì $(2)$ thành $g(\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor-\frac{1}{2}) \Rightarrow u_n \in A_{k}$
Ta có công thức tổng quát : $\large u_n=n-g(\left \lfloor \sqrt{2n} \right \rfloor+\frac{1}{2}\cdot (\Delta -1))$
Mọi người nhận xét xem :D
_____________________________
@hxthanh: Có thể bạn phải trình bày cơ sở lập luận và giải thích chi tiết cho người đọc hiểu chứ? Nói thật là, đọc bài của bạn tôi chẳng hiểu gì để có thể tham gia bình luận.

 

Nói thật với bạn Idie9xx nhé,mình thì mình quả thật không hiểu nổi một số bài giải của bạn,khi mà bạn giải sử dụng những ký hiệu lạ mà không có giải thích cho người đọc,chẳng hạn như bài post ở trên,bạn sử dụng ký hiệu đại lượng $A$ rồi xài $\delta$ mà không giải thích về chúng  :mellow: (và còn 1 số bài giải ở bên box và topic PT hàm nữa)

Mình mở topic này không phải để đi xin lời giải (lời giải thì mình đã có rồi ) mà là cần những thảo luận về ý tưởng ,phân tích,mở rộng bài toán ,thế nên khi bạn muốn thảo luận với các thành viên khác thì điều quan trọng là bạn phải trình bày rõ ràng ý tưởng của mình thì các thành viên khác mới có thể hiểu và thảo luận với bạn,chứ khi bạn post mà chỉ mình bạn hiểu thì việc thảo luận còn ý nghĩa không ? ~O) .Điều này mình cũng đã đề cập đến ở #1 của topic này rồi nên mong bạn đọc kỹ hơn bài post ấy.

 

@Idie9xx : Mình sẽ chú ý lần sau trình bày rõ hơn ý tưởng và cách làm của mình :)

@hxthanh: Nhận xét của tôi là ... :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 24-03-2013 - 07:57

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#19 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-03-2013 - 19:25

Nói thật với bạn Idie9xx nhé,mình thì mình quả thật không hiểu nổi một số bài giải của bạn,khi mà bạn giải sử dụng những ký hiệu lạ mà không có giải thích cho người đọc,chẳng hạn như bài post ở trên,bạn sử dụng ký hiệu đại lượng $A$ rồi xài $\delta$ mà không giải thích về chúng  :mellow: (và còn 1 số bài giải ở bên box và topic PT hàm nữa)

Mình mở topic này không phải để đi xin lời giải (lời giải thì mình đã có rồi ) mà là cần những thảo luận về ý tưởng ,phân tích,mở rộng bài toán ,thế nên khi bạn muốn thảo luận với các thành viên khác thì điều quan trọng là bạn phải trình bày rõ ràng ý tưởng của mình thì các thành viên khác mới có thể hiểu và thảo luận với bạn,chứ khi bạn post mà chỉ mình bạn hiểu thì việc thảo luận còn ý nghĩa không ? ~O) .Điều này mình cũng đã đề cập đến ở #1 của topic này rồi nên mong bạn đọc kỹ hơn bài post ấy.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#20 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-03-2013 - 00:57

Như tôi đã trình bày ở trên, ta có:

 

$u_n=n-\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor$

 

và bây giờ ta có thể viết gọn hơn một chút là:

 

$u_n=n-\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor\left\lfloor -\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor$

 

với một "nhiệm vụ" cho các bạn:
 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có đẳng thức: $\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Bing (1)