Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Dãy số-Giới hạn Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 84 trả lời

#81 phanhak7dl

phanhak7dl

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 18-04-2014 - 01:26


Ta có $$a_{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} a_k = a_1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{2k}+a_{2k+1}\right)=1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(3a_{2k}+1\right)=n+1+3\sum\limits_{k=1}^{n} a_{2k}$$
Đặt $s_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_{2k}$ thì hệ đã cho trở thành $\begin{cases}
s_1=1 \\
s_{n+1}-s_n=n+1+3s_n
\end{cases}$
Từ hệ này ta tìm được $s_{n+1}=4s_n+(n+1)$
Đặt $t_n=s_n+\dfrac{3n+4}{9}$ thì ta có$t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_{n+1}=4t_n$.
Nên $t_n=\dfrac{4^{n+1}}{9},s_n=\dfrac{4^{n+1}-3n-4}{9}$ và $a_{2n}=s_{n}-s_{n-1}=\dfrac{4^{n+1}-4^{n}-3}{9}$.
Suy ra $a_{2n}=\dfrac{4^n-1}{3}$ và $a_{2n+1}=2a_{2n}+1=\dfrac{2.4^n+1}{3}$.
Do đó $a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$

thầy ơi,thầy có tài liệu dãy số up lên cho m.n tham khảo với ạ



#82 duongminhtrung

duongminhtrung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Đá bóng,âm nhạc,yêu Toán học,thú nuôi.Thích được giao lưu và học hỏi với mọi người

Đã gửi 07-12-2014 - 10:11

Một số bài dãy
1.Un=3/2.5/4.9/8...(2^n+1)/(2^n)
CM Un có giới hạn
2.Un=căn bậc ba của n.[1/2.4/5...(3n+1)/(3n+2)]
CM Un có giới hạn
3.U1=2,U(n+1)=[n.(Un)^2]/[1+(n+1).Un]
Tính lim(U2/U1+U3/U2+...+Un/[U(n-1)]
4.U1=1/2,U(n+1)=Un+(Un)^2/(n+1)^2
CM dãy có giới hạn
5.U1=2,U(n+1)=(n.Un)/(1+n.Un)+1/(n+1)
Tính lim (Un)^n

#83 Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-12-2014 - 16:27

cho dãy $U_{n}$ xác định bởi $U_{1}$=1

 $U_{n+1}=\sqrt{U_{n}^{2}+2U_{n}+3}-\sqrt{U_{n}^{2}-2U_{n}+3}$

CMR: dãy $U_{n}$ có giới hạn hữu hạn. tìm giới hạn đó



#84 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 17-01-2017 - 21:24

Cho dãy $U_{n}$ xác định bởi $U_{1}$=1

 $U_{n+1}=\sqrt{U_{n}^{2}+2U_{n}+3}-\sqrt{U_{n}^{2}-2U_{n}+3}$

CMR: dãy $U_{n}$ có giới hạn hữu hạn. tìm giới hạn đó.

 

Trong bài này, dùng ký hiệu $\{u_n\}$ thay vì $\{U_n\}$.

 

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2-2x+3}$ trên $\mathbb{R}.$

Ta dễ thấy f là hàm đơn điệu tăng.

($f'(x)=g(x+1)-g(x-1)$, với $g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ là hàm tăng trên $\mathbb{R}.$)

Nhận xét:

  • Nếu $u_n \le a:= \frac{2\sqrt{3}}{3}$ nên $u_{n+1}=f(x_) \le f(a)=a$. Vì $u_1\le a$ nên $u_n\le a \, \forall n\in \mathbb{N}.$
  • Hơn nữa, vì $u_1=1<f(1)=u_2$ và $ f $ đơn điệu tăng nên $ \{u_n\} $ là dãy tăng.
Vì thế $\{u_n\}$ là dãy hội tụ. Và ta có thể chỉ ra giới hạn của dãy này là $a$.

Đời người là một hành trình...


#85 Nguyen Danh

Nguyen Danh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 26-06-2019 - 15:39

Khai đao bài số 10

(Theo ngu ý của mình thì công thức đã cho phải xác định từ $n=1$ trở đi, nếu không thì $x_3$ xác định kiểu gì? :luoi: )

Từ đề bài ta có: $nx_{n+2}=(n-1)x_{n+1}+x_n\quad(*)$
Giả sử tồn tại $n$ để $x_{n+2}=x_{n+1}$ thì từ $(*)$ suy ra $x_{n+2}=x_{n+1}=x_{n}=...=x_2=x_1\Rightarrow $ vô lý!
Do đó dãy $\{x_n\}$ "không dừng".
Và từ $(*)$ ta có thể viết:
$\quad\dfrac{x_{n+2}-x_{n+1}}{x_{n+1}-x_{n}}=\dfrac{(-1)}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}=\dfrac{(-1)}{n-1}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{(-1)^n}{n!}$
$\Rightarrow x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{2}-x_{1}=-\dfrac{(-1)^{0}}{(0)!}$
$\Rightarrow x_{n+2}=x_1-\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$

Do đó $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+2}=x_1-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=2012-e^{-1}$

Giải thử bài số 11

Ta có: $x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2>x_n^2+2$
Suy ra:
$x_n^2\;\;>x_{n-1}^2+2$
$x_{n-1}^2>x_{n-2}^2+2$
$\cdots$
$x_1^2>x_0^2+2$
___________________
$\Rightarrow x_n^2>x_0^2+2n=25+2n\quad(**)$
Do đó: $x_{1000}^2>25+2000\Rightarrow x_{1000}>45$

Mặt khác từ $(**)$, ta cũng có:
$x_n^{-2}<\dfrac{1}{25+2n}<\dfrac{1}{2}\big(\log(25+2n)-\log(23+2n)\big)$

Spoiler

Và thế là ta có:
$x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2<x_n^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25+2n)-\dfrac{1}{2}\log(23+2n)$
Suy ra:
$x_{n}^2<x_{n-1}^2+2+\dfrac{1}{2}\log(23+2n)-\dfrac{1}{2}\log(21+2n)$
$\cdots$
$x_1^2<x_0^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25)-\dfrac{1}{2}\log(23)$
____________________________________________________
$\Rightarrow x_n^2<25+2n+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{23+2n}{23}\right)$

$\Rightarrow x_{1000}^2<25+2000+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{2023}{23}\right)<2029.5\Rightarrow x_{1000}<45.1$

sao em thử chỗ loga n=1 nó sai hả anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Danh: 26-06-2019 - 15:40






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh