Chủ đề này có 2 trả lời

[Sagittarius912]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 11

Thời gian: 180 phút

Câu 1:

a) Giải phương trình :

$\sin (\cos x)=\cos (\sin x)$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2+4=5yz\\y^4+z^2+4=5zx \\z^4+x^2+4=5xy \end{matrix}\right.$

Câu 2:

Cho dãy số thực $(x_n)_{n\ge1}$ được cho bởi công thức:

$\left\{\begin{matrix} x_1=2013\\x_1+x_2+...+x_{n+1}=x_1....x_{n+1} \end{matrix}\right. \forall n\ge1$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)_{n\ge1}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.CMR

$\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}\ge \sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp mp(ABC)$ và SA=2a.$\Delta ABC$ vuông tại C với AB=2a ,$\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh AC. Đặt AM=x $(0\le x\le \sqrt{3}a)$. Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất.

Câu 5:

Tính trung bình cộng các số tự nhiên N gồm 2013 chữ số thoả mãn N chia hết cho 99 và các chữ số của N nằm trong tập hợp $\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8 \end{Bmatrix}$

[.::skyscape::.]

1.bBài hệ đánh giá được không nhỉ ?
Không mất tính tổng quát giả sử$ x\geq y\geq z$
nên thê đề bài

$x^{4}+y^{2}+4\geq y^{4}+z^{2}+4
\Leftrightarrow 5yz\geqslant 5xz\Leftrightarrow y\geq x$
tương tự như thế có $z\geq y\geq x$
theo giả thiết thì PT xảy ra khi x=y=z thế vào pt giả nghiệm

[ducthinh26032011]

Câu 3
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.CMR

$\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}\ge \sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bình phương 2 vế:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+2\sum \frac{\sqrt{ab}}{c^{2}}\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$
Ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+\sum 3\sqrt{3}bc+\sum 3\sqrt{3}bc\geq 9a\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+6\sqrt{3}\geq 9(a+b+c)\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}(1)$
$2\sum \frac{\sqrt{ab}}{c^{2}}\geq 2.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\geq 6\sqrt{3}(1)$
Do:$1=(ab+bc+ca)^{3}\geq 27(abc)^{2}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}$
Cộng vế theo vế,ta được điều phải chứng minh.