Đề mới:
Bài toán 22: Cho ${a_k} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{2k - 1}}$ với ${\rm{k}} = {\rm{1}},{\rm{2}},...,{\rm{n}}$
Tính tổng $\frac{1}{2}a_n^2 + {({a_n} - {a_1})^2} + {({a_n} - {a_2})^2} + ... + {({a_n} - {a_{n - 1}})^2}$
Bài toán 23: Tính tổng $\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{\cos }^{ - 1}}} \left( {\frac{{{n^2} + {k^2} + k}}{{\sqrt {{n^4} + {k^4} + 2{k^3} + 2{n^2}{k^2} + 2{n^2}k + {n^2} + {k^2}} }}} \right)$
Lời giải bài toán 22:
Ta sẽ chứng minh tổng cần tính có giá trị là $\frac{n}{2}$ bằng quy nạp.
Với $n=1$,ta có $a_1=1$,từ đó $\frac{a_1^2}{2}=\frac{1}{2}\text{ (đúng) }$.
Giả sử đẳng thức $\frac{{a_n^2}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} ( {a_n} - {a_k}{)^2} = \frac{n}{2}$ đúng đến $n$,ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với $n+1$.
Thật vậy,ta có ${a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{{2n + 1}}$,suy ra:
$\frac{{a_{n + 1}^2}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^n ( {a_{n + 1}} - {a_k}{)^2} = \frac{1}{2}{\left( {{a_n} + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)^2} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{a_n} - {a_k} + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)}^2}} $
$ = \frac{{a_n^2}}{2} + \frac{{{a_n}}}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2{{(2n + 1)}^2}}} + \left[ {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{{({a_n} - {a_k})}^2} + \frac{{2({a_n} - {a_k})}}{{2n + 1}} + \frac{1}{{{{(2n + 1)}^2}}}} \right)} } \right] + \frac{1}{{{{(2n + 1)}^2}}}$
$\left[ {\frac{{a_n^2}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} ( {a_n} - {a_k}{)^2}} \right] + \frac{{{a_n}}}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2{{(2n + 1)}^2}}} + \frac{n}{{{{(2n + 1)}^2}}} + \frac{2}{{2n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} ( {a_n} - {a_k})$
$ = \frac{n}{2} + \frac{1}{{2(2n + 1)}} + \frac{1}{{2n + 1}}\left( {(2n - 1){a_n} - 2\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{a_k}} } \right) = \frac{n}{2} + \frac{1}{{2(2n + 1)}} + \frac{1}{{2n + 1}}\left( {1 + \left( {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2n - 1}}{{2k - 1}}} } \right) - \left( {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2n - 2k}}{{2k - 1}}} } \right)} \right)$
$ = \frac{n}{2} + \frac{1}{{2(2n + 1)}} + \frac{1}{{2n + 1}}\left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2k - 1}}{{2k - 1}}} } \right) = \frac{n}{2} + \frac{1}{{2(2n + 1)}} + \frac{n}{{2n + 1}}$
$ = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{n + 1}}{2}$
Chú ý rằng tổng $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{a_k}} $ có $n-1$ số 1,$n-2$ số $\frac{1}{3}$,$n-3$ số $\frac{1}{5}$,...
Do vậy $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{a_k}} = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{n - k}}{{2k - 1}}} $.Từ đó ta có đpcm.
Lời giải bài toán 23:
Miền xác định của hàm $\arccos$ là trên $[0;\pi]$,ta có các đẳng thức sau:
$\arccos t = \arctan \frac{{\sqrt {1 - {t^2}} }}{t}$
$\arccos \frac{{{n^2} + {k^2} + k}}{{\sqrt {{n^4} + {k^4} + 2{k^3} + 2{n^2}{k^2} + 2{n^2}k + {n^2} + {k^2}} }} = \arctan \frac{n}{{{n^2} + {k^2} + k}}$
$\arctan \frac{n}{{{n^2} + {k^2} + k}} = \arctan \frac{{\frac{1}{n}}}{{1 + \frac{{k(k + 1)}}{{{n^2}}}}}$$ = \arctan \frac{{\frac{{k + 1}}{n} - \frac{k}{n}}}{{1 + \frac{{k(k + 1)}}{{{n^2}}}}}$
Do đó:
$\arctan \frac{n}{{{n^2} + {k^2} + k}} = \arctan \frac{{k + 1}}{n} - \arctan \frac{k}{n}$
Vậy $S = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi }{4}$.
==========
Đề mới:
Bài toán 24: Cho $f(x) = \frac{{{a^x}}}{{{a^x} + \sqrt a }}$ với $a>0$.Tính tổng $\sum\limits_{i = 1}^{2012} f \left( {\frac{i}{{2013}}} \right)$
Bài toán 25: Tính tổng $\frac{3}{2}\left( \begin{array}{c}n\\0\end{array} \right) + \frac{5}{3}\left( \begin{array}{c}n\\1\end{array} \right) + \cdots + \frac{{2n + 3}}{{n + 2}}\left( \begin{array}{c}n\\n\end{array} \right)$