Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Toán tính tổng,tích Đại Số- Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 67 trả lời

#61 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2013 - 21:19

Bài toán 32: Tính tổng $ \sum_{k = 0}^n\frac{1}{2k+1}{ 2k\choose k }{ 2n-2k\choose n-k } $

Đúng là bài này anh đã từng giải quyết và nó thực sự không khác là mấy so với Bài 8 của PSW

Trong đường link trên ta đã chứng minh được đẳng thức:

\begin{equation}\sum_{k=0}^n\cfrac{{n\choose k}(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}{2k+1}=\dfrac{2^{3n}.(n!)^3}{(2n+1)!}\end{equation}

Trong khi đó, đề bài này sau khi biến đổi một chút sẽ là

$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}{ 2k\choose k }{ 2n-2k\choose n-k }=\sum_{k=0}^n \frac{2^n}{n!}{n\choose k}\frac{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}{2k+1}$

 

Nghĩa là:

$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}{ 2k\choose k }{ 2n-2k\choose n-k }=\frac{2^{4n}(n!)^2}{(2n+1)!}$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#62 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 05-06-2013 - 21:26

Spoiler

Tiếp tục bài mới:

 

Bài toán 34: Tính tổng $ \sum_{i=0}^{n}{\frac{(-1)^i\cdot\dbinom{n}{i}}{i^3+9i^2+26i+24}} $

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#63 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2013 - 21:40


Tiếp tục bài mới:

Bài toán 34: Tính tổng $ \sum_{i=0}^{n}{\frac{(-1)^i\cdot\dbinom{n}{i}}{i^3+9i^2+26i+24}} $

:luoi


Ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{k=0}^n \frac{\displaystyle (-1)^k{n\choose k}}{k^3+9k^2+26k+24}\\
&=\sum_{k=0}^n \frac{\displaystyle (-1)^k{n\choose k}}{(k+2)(k+3)(k+4)}\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\sum_{k=0}^n \frac{\displaystyle (-1)^k(k+1){n\choose k}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}\\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\sum_{k=0}^n (-1)^k{n+4\choose k+4}(k+1)
\end{align*}
Ta có: $\begin{cases}\displaystyle (-1)^k{n+4\choose k+4}=\Delta\left[(-1)^{k-1}{n+3\choose k+3}\right]\\ \displaystyle \Delta(k+1)=1\end{cases}$
Theo SPTP ta có:
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n (-1)^k{n+4\choose k+4}(k+1)&=(k+1)\left[(-1)^{k-1}{n+3\choose k+3}\right]_{k=0}^{n+1}-\sum_{k=0}^n (-1)^k{n+3\choose k+4}\\
&={n+3\choose 3}-\sum_{k=4}^{n+3}(-1)^k{n+3\choose k}\\
&={n+3\choose 3}-\left[-{n+3\choose 0}+{n+3\choose 1}-{n+3\choose 2}+{n+3\choose 3}\right]\\
&=\frac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align*}
Như vậy:
$S=\frac{1}{2(n+3)(n+4)}$

Đã sửa


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#64 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 05-06-2013 - 21:50

Spoiler

 

Ta sẽ cho kèm 2 bài,như vậy sẽ có 3 bài cần ý kiến các bạn :)

 

Bài toán 35: Hãy tính $ \sum_{k=m}^{n}\binom{n}{k}\binom{k}{m}x^{k-m}(1-x)^{n-k} $

 

Bài toán 36: Chứng minh rằng $ \sum_{k=0}^{2n}\tan{(4k+1)\pi\over 8n+4}=2n+1 $ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

 

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#65 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-06-2013 - 11:54

Bài toán 33: Tính 2 tổng vô hạn sau:

$ C=1+\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{1}{4}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 3\theta+... $

$ S =\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{8}\sin 3\theta+... $

Xét biểu thức $A = \cos \theta  + i\sin \theta $

 

Ta có:

\[\frac{1}{{{2^k}}}{A^k} = \frac{1}{{{2^k}}}{\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)^k} = \frac{1}{{{2^k}}}\cos k\theta  + i\frac{1}{{{2^k}}}\sin k\theta \]

 

Như vậy:

\[\begin{array}{rcl}C + iS &=& \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{1}{{{2^k}}}\cos k\theta }  + i\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{1}{{{2^k}}}\sin k\theta } \\&=& \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{A^k}}}{{{2^k}}}}  = \frac{1}{{1 - \frac{A}{2}}}\\&=& \frac{2}{{2 - \cos \theta  - i\sin \theta }} = \frac{{2\left( {2 - \cos \theta  + i\sin \theta } \right)}}{{{{\left( {2 - \cos \theta } \right)}^2} + {{\sin }^2}\theta }}\\&=& \frac{{4 - 2\cos \theta }}{{5 - 4\cos \theta }} + \frac{{2\sin \theta }}{{5 - 4\cos \theta }}i\end{array}\]
 
So sánh phần thực và phần ảo,ta sẽ có:
\[\boxed{ \displaystyle C = \frac{{4 - 2\cos \theta }}{{5 - 4\cos \theta }};S = \frac{{2\sin \theta }}{{5 - 4\cos \theta }}}\]

 

 

Còn bài 34,anh Thanh check lại kết quả nhé.Cho $n=0$ thì kết quả của anh là $-\frac{1}{12}$ trong khi tổng đó ra $\frac{1}{24}$. :luoi:

 

Kết quả đúng phải là $\boxed{\displaystyle S=\frac{1}{2(n+3)(n+4)}}$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#66 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-06-2013 - 12:18

Bài toán 35: Hãy tính $ \sum_{k=m}^{n}\binom{n}{k}\binom{k}{m}x^{k-m}(1-x)^{n-k} $

Theo quy tắc tập con của tập con thì:

$$\binom{n}{k}\binom{k}{m}=\binom{n}{m}\binom{n-m}{k-m}$$

 

Thế nên:

\[\begin{eqnarray*}\sum\limits_{k = m}^n {\binom{n}{k}\binom{k}{m}{x^{k - m}}{{\left( {1 - x} \right)}^{n - k}}}  &=& \binom{n}{m}\sum\limits_{k = m}^n {\binom{n - m}{k - m}{x^{k - m}}{{\left( {1 - x} \right)}^{n - k}}} \\&=& \binom{n}{m}\sum\limits_{k = 0}^{n - m} {\binom{n - m}{k}{x^k}{{\left( {1 - x} \right)}^{n - m - k}}} &\text{ (Tịnh tiến) } \\&=& \binom{n}{m}\end{eqnarray*}\]

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#67 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-06-2013 - 18:18

Đề mới:

 

Bài toán 37: Tính $ \sum_{i=0}^{\infty}\arccos \left(1-\frac{8}{(i^2+4)((i+1)^2+4)} \right) $

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#68 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-06-2013 - 22:25

Bài toán 36: Chứng minh rằng $ \sum_{k=0}^{2n}\tan{(4k+1)\pi\over 8n+4}=2n+1 $ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Lời giải bài toán 36:

Spoiler

Đặt $\displaystyle {\alpha=e^{\frac{i\pi}{4n+2}}}$.

 

Ta có thể viết $ \tan\left[\frac{(4k+1)\cdot\pi}{8n+4}\right] =\frac{1}{i}\cdot\left(\frac{\alpha^{4k+1}-1}{\alpha^{4k+1}+1}\right)\; . $

 

Do đó ta sẽ phải tính tổng sau:

$ S =\frac{1}{i}\cdot\sum_{k=0}^{2n}\left(\frac{\alpha^{4k+1}-1}{\alpha^{4k+1}+1}\right) =\frac{1}{2i}\sum_{k=0}^{2n}(\alpha^{4k+1}-1)\cdot\sum_{q=0}^{4n+1}(-1)^{q}\alpha^{4kq+q}\; . $

 

Có được bước cuối cùng là bởi $ \sum_{q=0}^{4n+1}(-1)^q\alpha^{4kq+q}=\frac{2}{\alpha^{4k+1}+1} $

 

Và thực hiện khai triển,hoán đổi các tổng lại với nhau,ta có:

$ S =\frac{1}{2i}\cdot\sum_{q=0}^{4n+1}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^q\alpha^{4kq+4k+q+1}-\frac{1}{2i}\cdot\sum_{q=0}^{4n+1}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^q\alpha^{4kq+q} $

 

Bây giờ,ta phải để ý rằng:

$ \; i)\;\sum_{q\;\neq\; 2n,\; 4n+1}^{}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^q\alpha^{4kq+4k+q+1}=\sum_{q\;\neq\; 2n,\; 4n+1}^{}(-1)^q\alpha^{q+1}\left[\frac{(\alpha^{4q+4})^{2n+1}-1}{\alpha^{4q+4}-1}\right]\; . $

 

Và tổng này bằng 0,vì $ (\alpha^{4q+4})^{2n+1}= (\alpha^{2n+1})^{4q+4}= i^{4q+4}= 1\; . $

 

$ \; ii)\;\sum_{q\;\neq\; 0,\; 2n+1}^{}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^q\alpha^{4kq+q}=\sum_{q\;\neq\; 0,\; 2n+1}^{}(-1)^q\alpha^{q}\left[\frac{(\alpha^{4q})^{2n+1}-1}{\alpha^{4q}-1}\right]\; . $

 

Và tổng này bằng 0,vì $ (\alpha^{4q})^{2n+1}= (\alpha^{2n+1})^{4q}= i^{4q}= 1\; . $

 

Như vậy ta chỉ phải tính toán 4 tổng sau:

$ \; I)\;\frac{1}{2i}\cdot\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{2n}\alpha^{8kn+4k+2n+1}=\frac{2n+1}{2}\; . $

$ \; II)\;\frac{1}{2i}\cdot\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{4n+1}\alpha^{16kn+8k+4n+2}=\frac{2n+1}{2i}\; . $

$ \; III)\;-\frac{1}{2i}\cdot\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{0}\alpha^{4k\cdot 0+0}=-\frac{2n+1}{2i}\; . $

$ \; IV)\;-\frac{1}{2i}\cdot\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{2n+1}\alpha^{8kn+4k+2n+1}=\frac{2n+1}{2}\; . $

 

Kết thúc chứng minh tại đây.

 

Bài toán 37: Tính $ \sum_{i=0}^{\infty}\arccos \left(1-\frac{8}{(i^2+4)((i+1)^2+4)} \right) $

Lời giải bài toán 37:

Với $-1 \le x<1$,ta có $ \arccos x=2\,\mathrm{arccot}\,\sqrt{{1+x\over 1-x}} $,do đó:

$ a_i=\arccos\left(1-{8\over (i^2+4)(i^2+2i+5)}\right)=2\,\mathrm{arccot}\,\sqrt{\frac{2-{8\over (i^2+4)(i^2+2i+5)}}{{8\over (i^2+4)(i^2+2i+5)}}} $

$ a_i=2\,\mathrm{arccot}\,\sqrt{{i^4+2i^3+9i^2+8i+16\over 4}}=2\,\mathrm{arccot}\,{i^2+i+4\over 2} $

$ a_i=2\,\mathrm{arccot}\,\frac{{i(i+1)\over 4}+1}{{i+1\over 2}-{i\over 2}}=2\,\mathrm{arccot}\,{i\over 2}-2\,\mathrm{arccot}\,{i+1\over 2} $

 

Vậy bằng sai phân thì:

$ \sum_{i=0}^\infty\arccos\left(1-{8\over (i^2+4)(i^2+2i+5)}\right)=2\,\mathrm{arccot}\,0=\pi $

 

====================

Đề mới:

 

Bài toán 38: Cho hàm $ f :\mathbb{Z^*\times Z}\to\mathbb{Z} $ thỏa :

  1. $f(0;k)=1$ với $k=0;1$.
  2. $f(0;k)=0$ nếu $k \not \in \{0;1 \}$.
  3. $ f(n, k) = f(n-1, k)+f(n-1, k-2n) $ với $n \ge 1,k$ bất kỳ.

 

Tính tổng $ \sum_{k=0}^{{n+1\choose 2}}f(n,k) $.

 

Bài toán 39: Nếu $ (1+x)^{n}= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+............ $ với $n$ nguyên dương thì tính các tổng sau:

  1. $ a_{0}+a_{4}+a_{8}+................ $
  2. $ a_{0}+a_{3}+a_{6}+................. $

 

-86-


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh