Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $(ab)^{2}-4(a+b)$ là một số chính phương

[Namthemaster1234]

Đặt $A=a^2b^2-4(a+b)$

 

+) Xét $a=1$,$b=1$ thì không thỏa mãn

 

+) Xét $a=1$ và $b$ khác 1thì  $A=b^2-4(b+1)=b^2-4b-4=(b-2)^2-8$

 

Bằng cách đặt $(b-2)^2-8=n^2$ với $b$ không nhỏ hơn 2 và $n$ thuộc $N*$ thì ta tìm được $b=5$ thỏa mãn.

 

Vậy $(a,b)=(1,5)$

 

Tương tự xét $b=1$ và $a$ khác 1 thì $(a,b)=(5,1)$

 

+) Xét $a=2$ và $b\geqslant 2$ . Ta có: $A=4b^2-4(2+b)=(2b-1)^2-9$

 

Do $A$ chính phương nên dễ tìm được $(a,b)=(2,3);(2,2)$

 

+) Xét Tương tự  đối với $b=2$ và $a\geqslant 2$ tìm được $(a,b)=(3,2); (2,2)$

 

+) Xét $a>2 ,b>2$

 

$A=(ab)^2-4(a+b) < (ab)^2$

 

Và $A=(ab-2)^2+4(a-1)(b-1)-8  > (ab-2)^2$

 

Mà A chính phương nên:

 

$A=(ab-1)^2$. Tương đương với $4(a+b)=2ab-1$. VT chẵn mà VP lẻ nên loại

 

Vậy các nghiệm tìm được là : $(a,b)=(2,3);(3,2);(1,5);(5;1);(2,2)$