Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

PT-HPT-BPT Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathslink.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2013 - 20:37

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt tay vào vấn đề chính .:)

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 10-03-2013 - 20:46

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}+2x+3=(x+1)^3+x+1$$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ có $f'(t)=t^2 +1 >0$ do đó hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

Vậy $x+1=\sqrt[3]{2x+3}\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-03-2013 - 20:46

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hội những người độc thân thích chém gió !

Đã gửi 10-03-2013 - 20:51

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt tay vào vấn đề chính . :)

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]

Cộng 2 vế thệm $2x+2$ ,ta được:
$2x+3+\sqrt[3]{2x+3}=(x+1)^{2}+(x+1)$
Xét hàm $f(t)=t^{3}+t$ là hàm tăng
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}=x+1$
đến đây đơn giản rồi.

@ducthinh : Không hề đơn giản vậy đâu.Xem lời giải thích ở trên.

Em bổ sung ạ ^^
$\sqrt[3]{2x+3}=x+1\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+x-2=0\Leftrightarrow (x+2)(x^{2}+x-1)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2 & & \\ x^{2}+x-1=0(1) & & \end{bmatrix}$
Xét $\Delta$ phương trình (1) suy ra có 2 nghiệm $x= \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
Kết luận ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 10-03-2013 - 21:26

Hình đã gửi


#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2013 - 21:01

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}+2x+3=(x+1)^3+x+1$$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ có $f'(t)=t^2 +1 >0$ do đó hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

Vậy $x+1=\sqrt[3]{2x+3}\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$

Bài giải này thiếu 2 nghiệm là $x=-2$ và $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,nhưng mình không biết sai ở đâu.Mong nhận được ý kiến từ các bạn .
@ducthinh : Không hề đơn giản vậy đâu.Xem lời giải thích ở trên.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2013 - 21:13

Một điều nữa,mình xin nhắc các bạn là hãy đưa ra 1 lời giải hoàn chỉnh,đừng chỉ nên nêu hướng giải. Cảm ơn tất cả các bạn đã tham gia topic. :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 11-03-2013 - 19:15

Em xin ủng hộ 1 bài:

Bài toán : Giải phương trình $(1+\frac{1}{2x})log3+log2=log(27-3^{\frac{1}{x}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 19:42

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 19:42

Em xin ủng hộ 1 bài:

Bài toán : Giải phương trình $(1+\frac{1}{2x})log3+log2=log(27-3^{\frac{1}{x}})$

Hic,đây đâu phải topic gom đề đâu em,đây là topic thảo luận trao đổi các bài toán của ML mà ? Tốt nhất ta nên tập trung vào PT trên,chẳng hạn tìm 1 cách giải khác ? :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 11-03-2013 - 19:52

Hic,đây đâu phải topic gom đề đâu em,đây là topic thảo luận trao đổi các bài toán của ML mà ? Tốt nhất ta nên tập trung vào PT trên,chẳng hạn tìm 1 cách giải khác ? :)


Dạ.Mà PT trên còn gì đâu mà khai thác ạ. Nó xuất hiên rất nhiều lần trong 30-4.Ví dụ đề chính thức 30-4 năm 2011 lớp 10:

$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 11-03-2013 - 19:53

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#9 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 20:20

Dạ.Mà PT trên còn gì đâu mà khai thác ạ. Nó xuất hiên rất nhiều lần trong 30-4.Ví dụ đề chính thức 30-4 năm 2011 lớp 10:

$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

Bài này còn cách giải khác,em và các bạn suy nghĩ thử xem :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 11-03-2013 - 21:08

Dạ.Mà PT trên còn gì đâu mà khai thác ạ. Nó xuất hiên rất nhiều lần trong 30-4.Ví dụ đề chính thức 30-4 năm 2011 lớp 10:

$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$pt\Leftrightarrow (x-5)^3+5(x-5)=2x-9+5\sqrt[3]{2x-9}$
And
$f(x)=t^3+5t$
$f'(t)=3t^2+5> 0$
$\Rightarrow x-5=\sqrt[3]{2x-9}$
$\Leftrightarrow x^3-15x^2+73x-116=0$
$\Leftrightarrow (x-4)(x^2-11x+29)=0$
$\Leftrightarrow x=4$
or $x=\frac{11\pm \sqrt{5}}{2}$
~~~like phát~~~

#11 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 11-03-2013 - 21:17

Hình như topic đang đi lạc chủ đề ? Đang ML $\to$ $30-4$ ?
ĐCG !

#12 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 21:35

Hình như topic đang đi lạc chủ đề ? Đang ML $\to$ $30-4$ ?

Mong mọi người tập trung hơn vào chủ đề của topic.Chúng ta đang cần tìm 1 lời giải khác ngoài cách sử dụng hàm số. :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 13-03-2013 - 18:00

Mong mọi người tập trung hơn vào chủ đề của topic.Chúng ta đang cần tìm 1 lời giải khác ngoài cách sử dụng hàm số. :)


Hưởng ứng lời kêu gọi của anh dark templar, mình xin giải thêm 1 cách nữa.


Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]


PT tương đương :$\sqrt[3]{{2x + 3}}+x+ 2=(x+1)^3$

Đặt $y+1=\sqrt[3]{2x+3}$

Khi đó ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} (x+1)^3=x+y+3 (1)\\ (y+1)^3=2x+3(2) \end{matrix}\right.$

Lấy (1) trừ (2) ta có: $(x+1)^3-(y+1)^3=y-x$

<=> $(x-y)[(x+1)^2+(x+1)(y+1)+(y+1)^2+1]=0$

<=> $x=y$

Thay vào (1) ta có $(x+1)^3=2x+3$

<=>$x^3+3x^2+x-2=0$

<=>$(x+2)(x^2+x-1)=0$

<=> $\begin{bmatrix} x=-2\\ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$

Vậy hệ có nghiệm $(-2;-2),(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}),(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2})$.


---------------

Không biết còn cách nào nữa không ta? :D

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#14 cokeu14

cokeu14

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 13-03-2013 - 23:46

Hưởng ứng lời kêu gọi của anh dark templar, mình xin giải thêm 1 cách nữa.




PT tương đương :$\sqrt[3]{{2x + 3}}+x+ 2=(x+1)^3$

Đặt $y+1=\sqrt[3]{2x+3}$

Khi đó ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} (x+1)^3=x+y+3 (1)\\ (y+1)^3=2x+3(2) \end{matrix}\right.$

Lấy (1) trừ (2) ta có: $(x+1)^3-(y+1)^3=y-x$

<=> $(x-y)[(x+1)^2+(x+1)(y+1)+(y+1)^2+1]=0$

<=> $x=y$

Thay vào (1) ta có $(x+1)^3=2x+3$

<=>$x^3+3x^2+x-2=0$

<=>$(x+2)(x^2+x-1)=0$

<=> $\begin{bmatrix} x=-2\\ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$

Vậy hệ có nghiệm $(-2;-2),(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}),(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2})$.


---------------

Không biết còn cách nào nữa không ta? :D

Thêm cách nữa này
$ \sqrt[3]{2x+3}-\left( x+1 \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x-2$

$ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x-2}{{{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x-2=0$
$ \Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x-2 \right)\left( \frac{1}{{{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}}}+1 \right)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cokeu14: 13-03-2013 - 23:50


#15 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-03-2013 - 17:24

Xin chúc mừng,lời giải của namheo cũng chính là lời giải khác trong file của anh :). Mong các bạn có thể đưa ra thêm ý kiến cho bài toán trên.

Và công bố bài toán mới :

Bài toán 2: Giải phương trình sau :
$$\sqrt[3]{{{x^3} - 12{x^2} + 27x - 8}} = 2x + \sqrt[3]{{{x^3} - 3x}}$$

Bài toán 3: Giải phương trình sau :
$$8{x^2} + 8x + 1 = \sqrt {x + 5} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-03-2013 - 17:25

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 15-03-2013 - 21:11

Không biết anh có đáp án 2 bài này chưa ? Bài 3 nghiệm ảo tung ; Bài 2 thì vô nghiệm :(
ĐCG !

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-03-2013 - 21:17

Không biết anh có đáp án 2 bài này chưa ? Bài 3 nghiệm ảo tung ; Bài 2 thì vô nghiệm :(

Tất cả các bài anh post trong topic này đều đã có lời giải nên yên tâm đi nhé . :)
P.s: Nghiệm phức vẫn tính mà em ;)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 11:41

Bài toán 2: Giải phương trình sau :
$$\sqrt[3]{{{x^3} - 12{x^2} + 27x - 8}} = 2x + \sqrt[3]{{{x^3} - 3x}}$$

Bài toán 3: Giải phương trình sau :
$$8{x^2} + 8x + 1 = \sqrt {x + 5} $$

Hic,các bạn vẫn có thể tiếp tục thảo luận và tìm lời giải khác cho các bài toán trên nhé :D

Lời giải bài toán 2:
Đặt $u=\sqrt[3]{x^3-3x}$ thì phương trình đã cho trở thành :
$$\sqrt[3]{{{u^3} - 12{x^2} + 30x - 8}} = 2x + u$$

Lũy thừa bậc 3 hai vế,ta có :

$$\begin{array}{l}
{u^3} - 12{x^2} + 30x - 8 = 8{x^3} + 12{x^2}u + 6x{u^2} + {u^3}\\
\Leftrightarrow {u^3} - 12{x^2} + 30x - 8 = 8{u^3} + 24x + 12{x^2}u + 6x{u^2} + {u^3}\\
\Leftrightarrow 4({u^3} + 1) + 6{x^2}(u + 1) + 3x({u^2} - 1) = 0\\
\Leftrightarrow (u + 1)(4{u^2} - 4u + 4 + 6{x^2} + 3ux - 3x) = 0\\
\Leftrightarrow (u + 1)\frac{{87{{(8u + 3x - 4)}^2} + {{(87x - 12)}^2} + 4032}}{{87\cdot16}} = 0
\end{array}$$

Từ đó ta tìm được $u=-1$ hay ${x^3} - 3x + 1 = 0$.

Dễ dàng chỉ ra được rằng phương trình các nghiệm trong thuộc $(-2;2)$ nên ta đặt $x=2\cos v$.Ta có:

$$\begin{array}{l}
8{\cos ^3}v - 6\cos v = - 1\\
\Leftrightarrow \cos 3v = - \frac{1}{2} = \cos \frac{{4\pi }}{3}\\
\Leftrightarrow x \in \left\{ {2\cos \frac{{4\pi }}{9},2\cos \frac{{10\pi }}{9},2\cos \frac{{16\pi }}{9}} \right\}
\end{array}$$.

Lời giải bài toán 2:
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
$$64{x^4} + 128{x^3} + 80{x^2} + 15x - 4 = 0 \quad (*)$$

Bây giờ ta đặt $x=y-\frac{1}{2}$ thì PT (*) trở thành :
$${y^4} - \frac{1}{4}{y^2} - \frac{1}{{64}}y - \frac{7}{{128}} = 0$$

Cho ${y^4} - \frac{1}{4}{y^2} - \frac{1}{{64}}y - \frac{7}{{128}} = ({y^2} + ay + b)({y^2} - ay + c)$ và đồng nhất các hệ số tương ứng ta có hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}
- {a^2} + b + c = - \frac{1}{4} \Rightarrow b + c = - \frac{1}{4} + {a^2}\\
a(b - c) = \frac{1}{{64}} \Rightarrow b - c = \frac{1}{{64a}}\\
bc = - \frac{7}{{128}}
\end{array} \right.$$

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ ta tìm được:

$$\left\{ \begin{array}{l}
b = - \frac{1}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{{128a}}\\
c = - \frac{1}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{1}{{128a}}
\end{array} \right.$$

Thế hai giá trị này vào phương trình thứ ba ta được:
$$bc = {\left(\frac{1}{8} - \frac{{{a^2}}}{2} \right)^2} - \frac{1}{{16384{a^2}}} = - \frac{7}{{128}}$$

Hay $\frac{9}{{128}} + \frac{{{a^4}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{1}{{16384{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow {a^6} - \frac{{{a^4}}}{2} + \frac{9}{{32}}{a^2} - \frac{1}{{4096}} = 0 \quad (**)$.

Bây giờ đặt ${a^2} = \frac{1}{{48}}z + \frac{1}{6}$ thì PT (**) trở thành :

$$\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{{48}}z + \frac{1}{6}} \right)^3} - \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{{48}}z + \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{9}{{32}}\left( {\frac{1}{{48}}z + \frac{1}{6}} \right) - \frac{1}{{4096}} = 0\\
\Leftrightarrow {z^3} + 456z + 4133 = 0
\end{array}$$

Phương trình bậc ba cuối cùng được giải bằng công thức Cadarno, nghiệm của nó là:
$$z = \sqrt[3]{{\frac{{ - 4133 + 3\sqrt {3458769} }}{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 4133 - 3\sqrt {3458769} }}{2}}}$$

Từ đó suy ra :
$$a = \sqrt {\frac{1}{6} + \frac{1}{{48}}\left( {\sqrt[3]{{\frac{{ - 4133 + 3\sqrt {3458769} }}{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 4133 - 3\sqrt {3458769} }}{2}}}} \right)} $$

Và ta tìm được hai nghiệm của phương trình ban đầu là:

$$\begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{a - 1 - \sqrt {\frac{1}{2} - {a^2} + \frac{1}{{32a}}} }}{2} = - 1,109551274...\\
{x_2} = \frac{{a - 1 + \sqrt {\frac{1}{2} - {a^2} + \frac{1}{{32a}}} }}{2} = 0,139036812...
\end{array}$$.

**********
Tiếp tục đề mới :

Bài toán 4: Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt[4]{{x + 1}}$.

Bài toán 5: Tìm nghiệm dương của phương trình $x + \sqrt {11 + \sqrt x } = 7$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-03-2013 - 11:42

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#19 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 17-03-2013 - 19:49

Bài toán 4: Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt[4]{{x + 1}}$.

Bài toán 5: Tìm nghiệm dương của phương trình $x + \sqrt {11 + \sqrt x } = 7$.



Mấy bài trên đó cũng khá dễ ...
Bài toán 4: Xét hàm số :
$$f(x)=\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt[4]{{x + 1}}$$
$$f'(x)=\frac{1}{4}\,{x}^{-3/4}+\frac{1}{4}\, \left( x-1 \right) ^{-3/4}-\frac{1}{4}\, \left( 1+x
\right) ^{-3/4}$$
Dễ thấy rằng: $\frac{1}{4}\, \left( x-1 \right) ^{-3/4}-\frac{1}{4}\, \left( 1+x
\right) ^{-3/4}>0$ và $\frac{1}{4}\,{x}^{-3/4}>0$ nên $f'(x)>0$
Suy ra $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm
Dễ thấy $f\left(\frac{2}{15}\sqrt{27+12\sqrt{6}} \right)=0$ nên $x=\frac{2}{15}\sqrt{27+12\sqrt{6}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài toán 5: Phương trình tương đương với:
$$(a-3)(a^3+3a^2-13a-38)=0$$
với $a=\sqrt{11+\sqrt{x}}>3$
Khi đó ta cần giải phương trình bậc ba: $a^3+3a^2-13a-38=0$
Đặt $a=\frac{8}{\sqrt{3}} \cos t-1$
Phương trình bậc ba tương đương với :
$$\frac{128 \cos 3t}{3\sqrt{3}}-23=0$$
Do đó ta được nghiệm của phương trình bậc ba trên thỏa mãn $a \geq \sqrt{11}$ là:
$$a=\frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {69}{128}}\,
\sqrt {3} \right) \right) -1$$
Suy ra $$\sqrt{11+\sqrt{x}}=\frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {69}{128}}\,
\sqrt {3} \right) \right) -1$$
Tương đương với $$x=\left( \left( \frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {
69}{128}}\,\sqrt {3} \right) \right) -1 \right) ^{2}-11 \right) ^{2}$$
_______________
Mọi người thông cảm, làm hơi tắt ...
Mong có thêm nhiều bài mới làm luôn ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 23-03-2013 - 01:42

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#20 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 20-03-2013 - 21:47

$\boxed{\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x}$

 

$\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x <=> (x+1)^{3}-(x+1)=\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 $

 

--Đặt:

 
$a=x+1,b=\sqrt[3]{2x+3} $

 

-- Ta có 2 pt

$a^{3}-a=b+1 (1)$ và $b^{3}-2a=1  (2)$
 
--Thế (2) vào (1):
=> $a^{3}+a=b^{3}+b$ => $a=b$ 
 
Giải tương tự như anh namheo

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh