Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

PT-HPT-BPT Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathslink.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#41 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 30-04-2013 - 14:58

 

 
Bài toán 16: Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l}{({x_3} + {x_4} + {x_5})^5} = 3{x_1}\\{({x_4} + {x_5} + {x_1})^5} = 3{x_2}\\{({x_5} + {x_1} + {x_2})^5} = 3{x_3}\\{({x_1} + {x_2} + {x_3})^5} = 3{x_4}\\{({x_2} + {x_3} + {x_4})^5} = 3{x_5}\end{array} \right.$

 

 

Giả sử $x_{1}> x_{2}\Rightarrow x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{3}> x_{2}\Rightarrow x_{2}> x_{4}\Rightarrow x_{3}> x_{4}\Rightarrow x_{5}> x_{3}\Rightarrow x_{5}> x_{4}\Rightarrow x_{4}> x_{1}\Rightarrow x_{5}> x_{3}>x_{2}> x_{4}>x_{1}$

 

Chú ý: $x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{1}+x_{2}> x_{3}+x_{4}$  ( vô lí)

Lập luận tương tự $x_{1}< x_{2}$ vô lí

Vậy $x_{1}=x_{2}$

Do $x_{1}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}$

Do đó ta chỉ cần  giải phương trình:

$3^5x_{1}^5=3x_{1}\Rightarrow x_{1}=0$  hoặc $x_{1}=\frac{1}{3}$ hoặc $x_{1}=-\frac{1}{3}$


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#42 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 01-05-2013 - 19:35

Bài giải sai từ dòng đầu rồi Kiên ;) Đây không phải là hệ đối xứng nên không thể giả sử như vậy :)

 

=====

:wacko:  Bài này có trong phần bài tập đề nghị trong cuốn đại số của Nguyễn Văn Mậu nó năm trong phần hệ đối xứng,

@Dark templar: Đọc sách cũng phải hiểu cơ bản chứ,bài này sao gọi là đối xứng được  :mellow: Nó chỉ có thể là hoán vị thôi,giống như BĐT vậy đấy !

 

Bài này bạn Kiên giải chỉ thiếu thôi, ta cần xét thêm các trường hợp còn lại, như: $x_1>x_3>x_4>x_5>x_2$ ( khá là nhiều )


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#43 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 01-05-2013 - 19:45

Bài này bạn Kiên giải chỉ thiếu thôi, ta cần xét thêm các trường hợp còn lại, như: $x_1>x_3>x_4>x_5>x_2$ ( khá là nhiều )

Nếu thế tại sao ta không giả sử ${x_1} = \max \left\{ {\left. {{x_i}} \right|i \in \mathbb{N};1 \le i \le 5} \right\}$ ? 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#44 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2013 - 21:15

Bài 17: Giải phương trình $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\frac{1}{2}\cot \frac{x}{2}$



#45 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2013 - 21:17

Bài 18: Giải phương trình (tập số thực)

 

$1+\left ( \frac{x}{x-1} \right )+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+...+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 01-05-2013 - 21:19


#46 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2013 - 21:21

Bài 19: Giải phương trình:

 

$\sqrt{2(x^4+4)}-3x^2-10x+5=0$

 

---------------------------------

Nguồn từ Mathlinks.ro đấy! Dark templar đừng lo lắng!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 01-05-2013 - 21:25


#47 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 01-05-2013 - 21:21

Bài 17: Giải phương trình $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\frac{1}{2}\cot \frac{x}{2}$

 

 

Bài 18: Giải phương trình (tập số thực)

 

$1+\left ( \frac{x}{x-1} \right )+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+...+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0$

Cả 2 bài này của anh(thầy)  Định có phải bắt nguồn từ Mathlinks.ro không ạ,để lúc biên tập cho chắc chắn nguồn gốc :)


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#48 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2013 - 13:18

Không thấy ai giải tiếp nhỉ!

 


Bài 17: Giải phương trình $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\frac{1}{2}\cot \frac{x}{2}$

 

Đây là nguyên văn thảo luận bên Mathlins.ro: This equation has infinite many solutions, But it can not be solved by Radicals or values of trigonometric functions. You can use a numerical methhod.Is think you had a typo, and the correc equation is 0a119f42994fe991b9b843a328760e4a64ca6f48 which has the solution 0b06d0155b76161b9e2cc162dd546a61492ff1cf.

 

 

Ta chỉ cần biến đổi VT, VP nên pt viết lại:$\frac{\sin \frac{3x}{2}.\sin 2x}{\sin \frac{x}{2}}=\frac{1\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$

 

với chú ý: $\sin 2x=4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.\cos x$ ta giải được!



#49 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2013 - 13:30

Bài 18: Giải phương trình (tập số thực)

$1+\left ( \frac{x}{x-1} \right )+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+...+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0$

 

Lời giải bên Mathlins.ro: Let 88877c071ddcf0a0c5b59bf29f674ed8bcbc0e21. Then you get c72d34738688b3b7fb27a6aa9cca220d5c371719. Multiply both sides by $u-1$ to get $u^8=1$. Thus, 51e69892ab49df85c6230ccc57f8e1d1606caccc must be an eighth root of unity. $u$ is real only when $x$is real and not $1$. The only eighth roots of unity that are real are b2e77e0a2f4a23a386900779f3969409d37b84fd. Thus, the only real solution is $u=-1$, which gives 9576a97f80a10affbcc5ee44b253cd69cf88641f, or 001ffd3685c08ac2277815295615add072ed56ed.

-------------

 

@namcpnh:Còn bài còn lại thì sao thầy? Em nghi là lộn đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 03-05-2013 - 13:36


#50 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2013 - 19:18

Bài 19 không sai đâu Nam (có lời giải bên Boxmath)

 

Bài 20: Giải phương trình: 7cc0b370c8bcba93a579d97105e592f107b51415


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 03-05-2013 - 19:19


#51 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2013 - 19:24

Bài 21: Giải phương trình: 3cb1f56c4c8f8ecd177399e97a02f9f1f61991d5

 

Bài 22: Giải phương trình: a328b63073e5452f4e55dcde6c2393d9771d5052           (Bài 22 được Mathlinks đặt tiêu đề "Nice equation")



#52 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 05-05-2013 - 20:01

Bài 19 không sai đâu Nam (có lời giải bên Boxmath)

 

Bài 20: Giải phương trình: 7cc0b370c8bcba93a579d97105e592f107b51415

 

ĐK $x> 0$.

 

PT: $log_{x}^{2}6+log_{\frac{1}{6}}^{2}(\frac{1}{x})+log_{\frac{1}{\sqrt{x}}}(\frac{1}{6})+log_{\sqrt{6}}x+\frac{3}{4}=0$

 

<=>$log_{x}^{2}6+log_{6}^{2}(x)+2log_{x}(6)+2log_{6}x+\frac{3}{4}=0$

 

<=>$log^4_{6}x+2log^3_{6}x+\frac{3}{4}log^2_{6}x+2log_{6}x+1=0$ (vì $log_{x}6=\frac{1}{log_{6}x}$)

 

Đặt $a=log_{6}x$

 

Ta có PT : $a^4+2a^3+\frac{3}{4}a^2+2a+1=0$

 

<=> $a^2+2a+\frac{3}{4}+2\frac{1}{a}+(\frac{1}{a})^2=0$ ( vì $a=0$ không là nghiệm )

 

<=>$(a+\frac{1}{a})^2+2(a+\frac{1}{a})-\frac{5}{4}=0$

 

<=>$\begin{bmatrix} a+\frac{1}{a}=\frac{1}{2}\\ a+\frac{1}{a}=\frac{-5}{2} \end{bmatrix}$

 

<=>$\begin{bmatrix} a^2-\frac{1}{2}a+1=0(VN)\\ a^2+\frac{5}{2}a+1=0 \end{bmatrix}$

 

<=>$\begin{bmatrix} a=-2\\ a=-\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

<=>$\begin{bmatrix} log_{6}x=-2\\ log_{6}x=-\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

<=>$\begin{bmatrix} x=\frac{1}{36}\\ x=\frac{\sqrt{6}}{6} \end{bmatrix}$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy hệ có 2 nghiệm $x=\frac{1}{36}$ và $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$

 

---------

 

Thầy giải bài 19 đi thầy, em thấy là lạ sao ấy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 05-05-2013 - 20:02

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#53 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 07-05-2013 - 19:19

Bài 19: Giải phương trình:

 

$\sqrt{2(x^4+4)}-3x^2-10x+5=0$

 

---------------------------------

Nguồn từ Mathlinks.ro đấy! Dark templar đừng lo lắng!

Em nghĩ là đề phải là $\sqrt{2(x^4+4)}-3x^2-10x+6=0$,khi đó phương trình mới có nghiệm

Còn nếu đề của thầy đúng thì hơi khó

Bình phương hai vế được $$7x^4+60x^3+70x^2-100x+17=0$$

$$\Leftrightarrow $x^4+\frac{60}{7}x^3+10x^2-\frac{100}{7}x+\frac{17}{7}=0$$

$$\Leftrightarrow x^4+\frac{60}{7}x^3=-10x^2+\frac{100}{7}x-\frac{17}{7}$$

Cộng hai vế với $(\frac{900}{49}+2m)x^2+\frac{60m}{7}x+m^2$ được:

$$(x^2+\frac{30}{7}x+m)^2=(\frac{410}{49}+2m)x^2+(\frac{60}{7}m+\frac{100}{7})x+m^2-\frac{17}{7}$$

Cần tìm m để $VP$ là một biểu thức chính phương hay $\Delta=0$

$$\Rightarrow \frac{-8}{343}(343m^3-1715m^2-11333m-12235)=0$$

Đây là phương trình bậc ba nên luôn có nghiệm,dùng công thức Cardano để giải,kiểu này thì kẹt quá


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 07-05-2013 - 19:21

Link

 


#54 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2013 - 22:33

Bài 22: Giải phương trình: a328b63073e5452f4e55dcde6c2393d9771d5052           (Bài 22 được Mathlinks đặt tiêu đề "Nice equation")

 

Các bài trên Mathlink có vẻ pro thật! Bài 19 đúng là rắc rối. Hãy xem lời giải bài 22 có tên Nice equation!

(Tạm dịch nhưng không sát lắm vì EL rất yếu! Các bạn có thể hiểu theo ý bản thân sao cho đúng là được)

 

Khai triển và biến đổi phương trình thành $x^4+8x^3+\frac{2753}{6}x^2+\frac{1913}{3}x+\frac{1081}{6}=0$

 

(CD13: Đây là phương trình bậc 4 đầy đủ với hệ số quá rối rắm, và chúng ta hãy xem họ biến đổi thành tích của 2 tam thức! Nhưng trước khi làm vậy, hãy xem!)

Đặt $x=y-2$, ta nhận được phương trình $y^4+\frac{2609}{6}y^2-\frac{3383}{3}y+\frac{4081}{6}=0$

 

(CD13: Mục đích của việc đặt $y=x+2$ nhằm làm mất số hạng chứa $x^3$ từ phương trình trên để có thể phân tích thành tích của 2 tam thức đặc biệt hơn!)

Viết VT của phương trình trên thành $(y^2+ay+b)(y^2-ay+c),$ ta nhận được:

$b+c-a^2=\frac{2069}{6} \to b+c=a^2+\frac{2609}{6}$  (1)

 

$a(c-b)=-\frac{3383}{3} \to b-c=\frac{3383}{3a}$   (2)

 

$bc=\frac{4081}{6}$  (3)

Từ (1), (2) ta nhận được: $4bc=(a^2+\frac{2069}{6})^2-(\frac{3383}{3a})^2$

 

Kết hợp với (3) nhận được: $\frac{8162}{3}= (a^2+\frac{2069}{6})^2-(\frac{3383}{3a})^2$

 

Và khi đó $a^2$ là nghiệm phương trình: $z^3+\frac{2609}{3}z^2+\frac{6708937}{36}z-\frac{11444689}{9}=0$

 

(CD13: Đây là phương trình bậc 3 đầy đủ nên để giải thứ này phải làm mất số hạng chứa $z^2$ và dùng đến Cardano rồi. Phiền thật!)

 

Đặt $z=t-\frac{2609}{9}$, ta nhận được phương trình $t^3-\frac{7100713}{108}t-\frac{19167408701}{2916}=0$

 

Theo Cardano thì có nghiệm $t=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$

 

với $p=\frac{7100713}{108},q=-\frac{11444689}{9}$

 

 

Do đó $a^2=-\frac{2609}{9}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$

 

Nhận được $a^2$ ~ $6,61>0$, chúng ta có thể chọn $a=\sqrt{a^2}$ (trường hợp kia cũng tương tự)

Thế là ta tìm được $b=\frac{a^2}{2}+\frac{2609}{12}+\frac{3383}{6a}$ và $c=\frac{a^2}{2}+\frac{2609}{12}-\frac{3383}{6a}$

 

Ta kiểm tra được hai điều $a^2-4b<0$ và $a^2-4c>0$

 

Từ đó phương trình ban đầu $y^4+\frac{2609}{6}y^2-\frac{3383}{3}y+\frac{4081}{6}=0$

 

dẫn đến $y^2-ay+c=0$ tức là $y=\frac{a+\sqrt{a^2-4c}}{2};y=\frac{a-\sqrt{a^2-4c}}{2}$

 

Với $p, q, c$ xác định như trên thì ta tìm ra được nghiệm $y \to$  nghiệm $x$

 

(CD13: gõ xong mệt!)


2c8a1f724bfe7e1e9735a372ec4d5ed1a6c90763 a2aac85de97437d8cacc5dea738a7d09bcbf24b8

42bd3a978202c3e094e1d1b425dcee63d61012a1 fb3e2d876a7043ac5de5630ca68a5397c45f80a1

Quite nice equation, indeed biggrin.gif


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 07-05-2013 - 22:38


#55 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2013 - 22:48

Bài 23: (Bài này có vẻ nhẹ nhàng hơn, không dùng đến Car hay Fer)

Giải phương trình: 99a7fff7d897dc3932eeab130d2deb1b0aa8138b



#56 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 07-05-2013 - 23:00

Bài 23: (Bài này có vẻ nhẹ nhàng hơn, không dùng đến Car hay Fer)

Giải phương trình: 99a7fff7d897dc3932eeab130d2deb1b0aa8138b

$\star x=0$ không phải là nghiệm

$\star x\ne 0$

$PT\Leftrightarrow (x^4+5x^3+6x^2+5x+1)(x^4+5x^3+8x^2+5x+1)=3x^4$

Chia hai vế cho $x^4$ rồi đặt $t=x+\frac{1}{x},|t|\ge 2$ ta được:

$$(t^2+5t+4)(t^2+5t+6)=3\Leftrightarrow (t^2+5t+5)^2=4$$

$$\Leftrightarrow (t^2+5t+3)(t^2+5t+7)=0$$

Giá trị t duy nhất thoả mãn điều kiện là $t=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$

Phương trình có hai nghiệm:

$$\boxed{x=\frac{1}{4}(-5-\sqrt{13}-\sqrt{2(11+5\sqrt{13})})}$$

$$\boxed{x=\frac{1}{4}(-5-\sqrt{13}+\sqrt{2(11+5\sqrt{13})})}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 07-05-2013 - 23:06

Link

 


#57 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2013 - 23:11

Bài 24: Giải phương trình: a9c4e386473510aeaddc68efb944303f887bbef0



#58 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 07-05-2013 - 23:28

Giải phương trình: $$x^4+8x^3+\frac{2753}{6}x^2+\frac{1913}{3}x+\frac{1081}{6}=0$$
Nhìn lời giải của thầy CD13 là biết ngay đó là của pco: phân tích một cái bậc 4 xong chẳng để làm gì
(thầy thử xem VD này: http://www.artofprob...p?f=36&t=488615)
__________________________
Cách khác: Hướng làm:
gọi $k$ là nghiệm của phương trình : $$36k^3-8259k^2+39426k-393676=0$$
Giải phương trình này ta được nghiệm:
$$k=\dfrac{1}{36}\,\sqrt [3]{19166397821+684\,\sqrt {18268999902953}}+{\dfrac {7105897}{36}}\,{\frac {1}{\sqrt [3]{19166397821+684\,\sqrt {18268999902953}}}}+{\frac {2753}{36}}$$
Ta thấy PT đã cho tương đương với:
$$6\, \left( -12\,k+2657 \right)  \left( {x}^{2}+k+4\,x \right) ^{2}= \left( 12\,kx+24\,k-2657\,x-1913 \right) ^{2}$$
Từ đó ta được các nghiệm:
$$x=\,{\frac {4\,\sqrt {-72\,k+15942}-12\,k+2657\pm\sqrt {432\,{k}^{2}\pm 13604\,\sqrt {-72\,k+15942}-128688\,k+7314721}}{2\sqrt {-72\,k+15942}}}$$
____________________________
Thử lại là ra kết quả !!!

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#59 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2013 - 23:40

Đúng là lời giải của pco!

 

Lối trình bày khác của bài 23 (bản chất cũng giống nhau - Nguyên văn tiếng Anh)

 

Let $x^2+x+1=y$. Then we need 9e5f974c833dcc36b17f3a21c011a4e9598b7c4f, or if we let $\frac{y}{x}=u$ then we have 777f8b8251777bc0bd131bb0225e67d58e5575bf by division. Then we get 80222ac5f7789ae7be9c49cb5aa633ffdeaadcec, so 3f93d8176e5579577897c4061cb8223bf0aba5d6, so cb83e430374675b756e298f1e00f42b489340691. We then get 1856643d2f21b0c224ac5c20cf08cc5f71401f26. Then we can solve for u using the quadratic formula. Then, noting that bdd937093fb375db4a4e41ba728b540f7ce80a29, we can solve for x using the quadratic formula. This should give a total of 8 solutions.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 08-05-2013 - 08:48


#60 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-05-2013 - 08:53

Bài 25: Giải phương trình: 2b1ec63cda9c5345e982b0eb39e6bebf26e723b7







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh