Bài toán 41: Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2-kyz=y^2-kzx=z^2-kxy$.Tìm $k$ và bộ nghiệm $(x;y;z)$ tương ứng.
Lời giải bài toán 41:
Nếu không có số nào trong 3 số $x,y,z$ bằng nhau thì $ x^2-y^2 =-kz(x-y) $,suy ra $ x+y =-kz\,. $.Tương tự,ta có $y+z=-kx;z+x=-ky$.
Cộng tất cả lại,ta được $(k+2)(x+y+z)=0$.Do đó $k=-2$ hay $x+y+z=0$.Nếu $k=-2$,thì $x+y=2z;y+z=2x;z+x=2y$ dẫn tới $x=y=z$,mâu thuẫn.Vậy $x+y+z=0$,suy ra $k=1$.Trong trường hợp này $k=1$ và $x+y+z=0$.
Bây giờ,giả sử $y=z$,nghĩa là $ x^2-ky^2 = y^2-kxy\,. $,hay $ (y-x)((k+1)y+x) = 0\,. $.Do đó $x=y=z$ hoặc $y=z$ và $x=-(k+1)y$.
Kết luận:
$(\star):k=1$ và $(x;y;z)=(a;b;-a-b)$.
$(\star):k \in \mathbb{R}$ và $(x;y;z)=(a;a;a)$.
$(\star):k \in \mathbb{R}$ và $(x;y;z)$ là hoán vị của $(a;a;-(k+1)a)$.
Trong đó $a,b$ là tham số bất kỳ.
Bài toán 42: Cho $a,b>1$ thỏa $ab=a+b$.Giải PT sau trên tập $\mathbb{R}$:
$$ x[(b-1)a^x+(a-1)b^x-x-ab+2]=(a^x-1)(b^x-1) $$
Lời giải bài toán 42:
Do $a+b=ab$ và:
$ (b-1)a^x+(a-1)b^x-x-ab+2 $
$ =(b-1)a^x+(a-1)b^x-x+(1-a)+(1-b) $
$ =(b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1)-x, $
Suy ra PT ban đầu tương đương với:
$ x^2-x((b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1))+(a^x-1)(b^x-1)=0. $
Do $(a-1)(b-1)=1$ nên ta có:
$ \Delta=((b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1))^2-4(a^x-1)(b^x-1) $
$ =((b-1)(a^x-1)-(a-1)(b^x-1))^2, $
Hay $x=(b-1)(a^{x}-1)$ hoặc $x=(a-1)(b^{x}-1)$.
Ở trường hợp đầu,ta có $ (b-1)a^x-x-(b-1)=0. $ PT này có tối đa 2 nghiệm do $ ((b-1)a^x-x-(b-1))''>0 $,suy ra $x \in \{0;1 \}$ là nghiệm.
Từ đó PT có 2 nghiệm là $x \in \{0;1 \}$.
====================
Đề mới:
Bài toán 43: Giải PT $ x^2.2^{x+1}+2^{|x+3|+2}=x^2.2^{|x-3|+4}+2^{x-1} $
Bài toán 44: PT $ {|x^2-1|+x^2+kx=0} $ có duy nhất 2 nghiệm thuộc $(0;2)$,tìm điều kiện của $k$ và chứng minh $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<4$,với $x_1;x_2$ là 2 nghiệm của PT ban đầu.
-22-
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-06-2013 - 21:09