Chủ đề này có 4 trả lời

[timmy]

1/Chứng minh các bất đẳng thức:
a)$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$(với x,y,z $>$0).Đẳng thức xảy ra khi nào?
b)$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}\leq 1$(a,b,c $>$0 và abc$\geq$1).

2/Tìm x,y,z thỏa $x^{2}+2y=y^{2}+2z= z^{2}+2x= 2$.

3/Tìm x,y$\in$Z thỏa $(2x-2y+1)(4x+2y-3)=p^{2}-1$ với p là một số nguyên tố.

[tramyvodoi]

1/Chứng minh các bất đẳng thức:
a)$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$(với x,y,z $>$0).Đẳng thức xảy ra khi nào?

Ta có $x^{2}+xy+y^{2}\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+4xy+4y^{2}\geq3x^{2}+6xy+3y^{2}$
$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq$
Vậy $x^{2}+xy+y^{2}\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}$
$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$
Thực hiện 2 bđt tương tự, rồi cộng theo vế ta được đpcm

[mbrandm]

Bài 1:a)
ta có B Đ T
$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left ( a+b \right )$
thật vậy, bình phương hai vế ta có:B Đ T tương đương là
$\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
Áp dụng nó vào vế trái ta có đpcm

[Sagittarius912]

1/Chứng minh các bất đẳng thức:

b)$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}\leq 1$(a,b,c $>$0 và abc$\geq$1).

Đặt

$a=\frac{kx}{y}$

$b=\frac{ky}{z}$

$c=\frac{kz}{x}$

với $k\ge1$

Khi đó ta có

$\frac{1}{1+a+ab}=\frac{1}{1+\frac{kx}{y}+\frac{k^{2}x}{z}}=\frac{yz}{yz+kxz+k^{2}xy}\le \frac{yz}{xy+yz+zx}$

Tương tự, ta có

$\frac{1}{1+b+bc}\le \frac{zx}{xy+yz+zx}$

$\frac{1}{1+c+ac}\le \frac{xy}{xy+yz+zx}$

Cộng vế theo vế 3bđt trên ta có đpcm

Dấu đăng thức xảy ra khi $k=1$ tức là $abc=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 10-03-2013 - 21:25

[dinhthanhhung]

1/Chứng minh các bất đẳng thức:
a)$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$(với x,y,z $>$0).Đẳng thức xảy ra khi nào?
b)$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}\leq 1$(a,b,c $>$0 và abc$\geq$1).

2/Tìm x,y,z thỏa $x^{2}+2y=y^{2}+2z= z^{2}+2x= 2$.

3/Tìm x,y$\in$Z thỏa $(2x-2y+1)(4x+2y-3)=p^{2}-1$ với p là một số nguyên tố.

Giải chậm quá , còn mỗi bài 3 , xin nốt vậy .
Dễ thấy VT lẻ nên VP lẻ từ đó suy ra p=2