Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 11-03-2013 - 02:27

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

#2 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 11-03-2013 - 09:20

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:
$2a^2(b^2+c^2)^2\leq (\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow \frac{1}{(b^2+c^2)^2}\geq \frac{27}{4}a^2\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2$
Chứng minh tương tự cộng lại => đpcm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3 .::skyscape::.

.::skyscape::.

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 11-03-2013 - 11:48

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$
xét hàm với $1-t^2$ ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .::skyscape::.: 11-03-2013 - 11:48


#4 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 15-03-2013 - 19:40

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

BĐT tương đương

$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$VT=\frac{a^4}{a^3(1-a^2)}+\frac{b^4}{b^3(1-b^2)}+\frac{c^4}{c^3(1-c^2)}\ge \frac{(\sum a^2)}{\sum a^3-\sum a^5}=\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5}$

Ta cần chứng minh

$\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$


$\Leftrightarrow 2\sum a^2 +\sum 3\sqrt{3}a^5\ge \sum 3\sqrt{3}a^3$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM do

$a^2 +a^2 +3\sqrt{3}a^5\ge 3\sqrt{3}a^3$


$b^2 +b^2 +3\sqrt{3}b^5\ge 3\sqrt{3}b^3$


$c^2 +c^2 +3\sqrt{3}c^5\ge 3\sqrt{3}c^3$


dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#5 dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 15-03-2013 - 19:55

đơn giản chỉ là khảo sát hàm
$f(x)=\frac{1}{x(1-x^{2})}$

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh