$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
#1
Đã gửi 11-03-2013 - 02:27
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
- Sagittarius912 yêu thích
#2
Đã gửi 11-03-2013 - 09:20
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
$2a^2(b^2+c^2)^2\leq (\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow \frac{1}{(b^2+c^2)^2}\geq \frac{27}{4}a^2\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2$
Chứng minh tương tự cộng lại => đpcm
- donghaidhtt, Sagittarius912, provotinhvip và 2 người khác yêu thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#3
Đã gửi 11-03-2013 - 11:48
$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$
xét hàm với $1-t^2$ ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .::skyscape::.: 11-03-2013 - 11:48
- donghaidhtt và IloveMaths thích
#4
Đã gửi 15-03-2013 - 19:40
BĐT tương đươngCho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz:$VT=\frac{a^4}{a^3(1-a^2)}+\frac{b^4}{b^3(1-b^2)}+\frac{c^4}{c^3(1-c^2)}\ge \frac{(\sum a^2)}{\sum a^3-\sum a^5}=\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5}$
Ta cần chứng minh$\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^2 +\sum 3\sqrt{3}a^5\ge \sum 3\sqrt{3}a^3$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM do$a^2 +a^2 +3\sqrt{3}a^5\ge 3\sqrt{3}a^3$
$b^2 +b^2 +3\sqrt{3}b^5\ge 3\sqrt{3}b^3$
$c^2 +c^2 +3\sqrt{3}c^5\ge 3\sqrt{3}c^3$
dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- tran thanh binh dv class yêu thích
#5
Đã gửi 15-03-2013 - 19:55
$f(x)=\frac{1}{x(1-x^{2})}$
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh