Đến nội dung

Hình ảnh

$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

#2
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:
$2a^2(b^2+c^2)^2\leq (\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow \frac{1}{(b^2+c^2)^2}\geq \frac{27}{4}a^2\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2$
Chứng minh tương tự cộng lại => đpcm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3
.::skyscape::.

.::skyscape::.

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$
xét hàm với $1-t^2$ ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .::skyscape::.: 11-03-2013 - 11:48


#4
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

BĐT tương đương

$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$VT=\frac{a^4}{a^3(1-a^2)}+\frac{b^4}{b^3(1-b^2)}+\frac{c^4}{c^3(1-c^2)}\ge \frac{(\sum a^2)}{\sum a^3-\sum a^5}=\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5}$

Ta cần chứng minh

$\frac{\sum a^2}{\sum a^3-\sum a^5} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$


$\Leftrightarrow 2\sum a^2 +\sum 3\sqrt{3}a^5\ge \sum 3\sqrt{3}a^3$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM do

$a^2 +a^2 +3\sqrt{3}a^5\ge 3\sqrt{3}a^3$


$b^2 +b^2 +3\sqrt{3}b^5\ge 3\sqrt{3}b^3$


$c^2 +c^2 +3\sqrt{3}c^5\ge 3\sqrt{3}c^3$


dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#5
dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
đơn giản chỉ là khảo sát hàm
$f(x)=\frac{1}{x(1-x^{2})}$

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh