tìm $\lim_{x \to+\infty }(\sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)}-x)$
#1
Đã gửi 11-03-2013 - 10:00
- donghaidhtt yêu thích
#2
Đã gửi 11-03-2013 - 11:35
tìm $\lim_{x \to+\infty }(\sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)}-x)$
\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{\left( {x + {a_1}} \right)\left( {x + {a_2}} \right)...\left( {x + {a_n}} \right)}} - x} \right) &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x}} \right)\left( {1 + \frac{{{a_2}}}{x}} \right)...\left( {1 + \frac{{{a_n}}}{x}} \right)}} - 1}}{{\frac{1}{x}}}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} \quad \text{với $t=\frac{1}{x} \to 0$ khi $x \to +\infty$}
\end{array}\]
Xét hàm số $f(t)=\sqrt[n]{(1+a_1t)(1+a_2t)...(1+a_{n}t)}$ .Theo định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm thì :
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} = f'\left( 0 \right)\]
Việc tính $f'(0)$ nhường cho em nhé
- donghaidhtt, NTHMyDream, faraanh và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 11-03-2013 - 20:26
Anh có cách nào đơn giản hơn không em chưa học đạo hàm\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{\left( {x + {a_1}} \right)\left( {x + {a_2}} \right)...\left( {x + {a_n}} \right)}} - x} \right) &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x}} \right)\left( {1 + \frac{{{a_2}}}{x}} \right)...\left( {1 + \frac{{{a_n}}}{x}} \right)}} - 1}}{{\frac{1}{x}}}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} \quad \text{với $t=\frac{1}{x} \to 0$ khi $x \to +\infty$}
\end{array}\]
Xét hàm số $f(t)=\sqrt[n]{(1+a_1t)(1+a_2t)...(1+a_{n}t)}$ .Theo định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm thì :
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} = f'\left( 0 \right)\]
Việc tính $f'(0)$ nhường cho em nhé
#4
Đã gửi 11-03-2013 - 20:28
Em học lớp 11 thì đến thời gian này phải học tới đạo hàm rồi chứ ?Anh có cách nào đơn giản hơn không em chưa học đạo hàm
#5
Đã gửi 11-03-2013 - 20:44
chiều nay em mới học đến bài hàm số liên tục thôiEm học lớp 11 thì đến thời gian này phải học tới đạo hàm rồi chứ ?
#6
Đã gửi 11-03-2013 - 20:47
$$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[m]{1+at}\cdot \sqrt[n]{1+bt}\cdot \sqrt[k]{1+ct}-1}{t}$$
$$=\lim_{t\rightarrow 0}\sqrt[m]{1+at}\cdot \sqrt[n]{1+bt}\cdot\frac{\sqrt[k]{1+ct}-1}{t}+\lim_{t\rightarrow 0}\sqrt[m]{1+at}\cdot\frac{\sqrt[n]{1+bt}-1}{t}+\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]{1+at}-1}{t}$$
Từ đó có thể giải ra đáp án
#7
Đã gửi 11-03-2013 - 20:48
Theo cách của anh,nếu làm tiếp sẽ rất dài ,em chịu khó xem trước trong SGK phần Đạo hàm đi nhéchiều nay em mới học đến bài hàm số liên tục thôi
#8
Đã gửi 11-03-2013 - 20:51
vâng dù sao em cũng cảm ơn, chắc phải xem ngay mới đượcTheo cách của anh,nếu làm tiếp sẽ rất dài ,em chịu khó xem trước trong SGK phần Đạo hàm đi nhé
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh