Đến nội dung

Hình ảnh

$ \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
tuyhuyenan

tuyhuyenan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Tiêu đề của bạn đã đặt sai.Bạn tham khảo cách đặt tiêu đề tại đây
$\LaTeX$ kẹp giữa dấu "đô la"


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 11-03-2013 - 12:03


#2
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Ta có:
$\sum \dfrac{a}{b+c-a}=\sum \dfrac{a^2}{ab+ac-a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-a^2-b^2-c^2} (Schwarz)$
Do $-(a^2+b^2+c^2) \le -(ab+bc+ac)$
$\Longleftrightarrow 2(ab+bc+ac)-a^2-b^2-c^2 \le ab+bc+ac$
$\Longrightarrow VT \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac} \ge 3$ (đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 11-03-2013 - 12:07

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#3
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leq abc$ ta có
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac {abc} {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}\geq 3$

#4
nguyensidang

nguyensidang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
em xin được giải nốt cách của bác ở trên em:
Bây giờ ta cần chứng minh: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Thật vậy: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq b^{2}$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq c^{2}$
$(c+a-b)(a+b-c)\leq a^{2}$
Nhân từng vế lại rồi khai căn sẽ ra đpcm
Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow$a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyensidang: 11-03-2013 - 13:09


#5
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Cách khác :))
Đặt $b+c-a=x,$ $a+c-b=y,$ $a+b-c=z$ $(x,\ y,\ z>0$ vì $a,\ b,\ c$ là các cạnh của một tam giác$)$

Ta có:

$x+y=b+c-a+a+c-b=2c$ $\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}$

$y+z=a+c-b+a+b-c=2a$ $\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}$

$z+x=a+b-c+b+c-a=2b$ $\Rightarrow b=\frac{z+x}{2}$

Do đó:

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}$

$\Leftrightarrow 2\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right )+\left ( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right )\geq 6$

Vậy $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 11-03-2013 - 20:27


#6
tuyhuyenan

tuyhuyenan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

em xin được giải nốt cách của bác ở trên em:
Bây giờ ta cần chứng minh: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Thật vậy: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq b^{2}$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq c^{2}$
$(c+a-b)(a+b-c)\leq a^{2}$
Nhân từng vế lại rồi khai căn sẽ ra đpcm
Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow$a=b=c

Áp dụng BĐT AM-GM la gi? minh khong hieu. hi hi



#7
vnmath98

vnmath98

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

$\sum \frac{a}{b+c-a}-3\geq 0\rightarrow \sum \frac{2a-b-c}{b+c-a}$

Dung chebyshev chac la ra.

Minh khong go duoc tieng viet mong mn thong cam.


    3324214559_b11a7ebb97_o-1.gif

 


#8
nguyensidang

nguyensidang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Áp dụng BĐT AM-GM la gi? minh khong hieu. hi hi

là BĐT mà chương trình giảng dạy gọi là cô-si(cauchy)
thực chất ko phải cauchy tìm ra nó mà ông chỉ đưa ra cách chứng minh BĐT trên ở dạng tổng quát hay nhất mà thôi (dùng quy nạp)
muốn biết thêm thì bạn nên đọc thêm sách BĐT thức
chẳng hạn như Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh