Chủ đề này có 4 trả lời

[faraanh]

tìm $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$

[dark templar]

tìm $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$

\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}} &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} - \frac{{3x}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1}}}}{{{x^2}}}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{1 - \sqrt {1 + 2x} }}{{1 + \sqrt {1 + 2x} }} - \frac{{2 - \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}} - \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1}}}}{x}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + \sqrt {1 + 2x} } \right)}^2}}} + \frac{{3\left( {2 + \sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right)}^2}}}} \right] = \frac{1}{2}
\end{array}\]

**********
Bài này xài quy tắc L-Hospital sẽ nhanh hơn .

[donghaidhtt]

tìm $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$

Dùng quy tắc L-Hospital
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1+2x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{-1}{\sqrt{(1+2x)^3}}-\dfrac{-2(1+3x)}{\sqrt[3]{(1+3x)^8}}}{2}=\frac{1}{2}$

[Noobmath]

Chỉ cần dùng 1 biến đổi đơn giản thui mà : cộng trừ tử số với $(x+1)$
Ta có : $\sqrt{2x+1} - (x+1) = \frac{-x^2}{\sqrt{2x+1}+(x+1)}$
$(x+1)- \sqrt[3]{3x+1} = \frac{x^3+3x^2}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{3x+1}^2}$
Chia $x^2$ xuống thì sẽ mất dạng vô định rùi cho $x=0$ vô là xong

[faraanh]

Chỉ cần dùng 1 biến đổi đơn giản thui mà : cộng trừ tử số với $(x+1)$
Ta có : $\sqrt{2x+1} - (x+1) = \frac{-x^2}{\sqrt{2x+1}+(x+1)}$
$(x+1)- \sqrt[3]{3x+1} = \frac{x^3+3x^2}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{3x+1}^2}$
Chia $x^2$ xuống thì sẽ mất dạng vô định rùi cho $x=0$ vô là xong

cách này hay thật đấy nhưng mình thắc mắc là tự nhiên làm sao mà nghĩ ra thêm bớt (x+1), chắc phải có dấu hiệu gì chăng??