$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$
#1
Đã gửi 11-03-2013 - 13:38
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR
$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$
- IloveMaths, nguyen tien dung 98 và lam lai tu dau thích
#2
Đã gửi 24-03-2013 - 21:32
Ta có:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 24-03-2013 - 21:36
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 16-06-2013 - 19:17
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR
$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$
Ta có thể giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$
Do đó ta có $\left\{\begin{matrix} a \geq b \geq c\\ \frac{1}{1+bc} \geq \frac{1}{1+ac} \geq \frac{1}{1+ab} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu trên ta có
$\sum \frac{a}{1+bc} \geq \frac{a+b+c}{3}(\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+ab}) \geq \frac{a+b+c}{3}.\frac{9}{3+(ab+bc+ac)}=\frac{3(a+b+c)}{3+(ab+bc+ac)}$
Lại có $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-1}{2}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{3(a+b+c)}{3+\frac{(a+b+c)^2-1}{2}} \geq 1$
$\Leftrightarrow 6(a+b+c) \geq (a+b+c)^2+5$
$\Leftrightarrow (a+b+c-5)(a+b+c-1) \leq 0$
Do $a,b,c \geq 0, a^2+b^2+c^2=1$ nên bất đẳng thức trên luôn đúng do
$a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3}<5$
Và $a+b+c \geq a^2+b^2+c^2=1$ do $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0;0;1)$ và các hoán vị
Bài toán mở rộng : Cho $a,b,c \geq 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng :
$1 \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ab} \leq \sqrt{2}$
- minhtuyb, 19kvh97 và phanquockhanh thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh