Chủ đề này có 8 trả lời

[phuongnamz10A2]

Cho $x, y, z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz$
Tìm GTNN, GTLN của $P= \frac{x^3+y^3+z^3}{(x+y+z)(xy+xz+yz))}$

[899225]

Tìm min thì dễ rồi nhĩ =1/3

[phuongnamz10A2]

Tìm min thì dễ rồi nhĩ =1/3

Toán đâu có phải là trắc nghiệm như Lý với Hóa.

[thangemmh]

Tìm min thì dễ rồi nhĩ =1/3

Làm như vậy thì chắc con nít cũng làm được

[dtvanbinh]

Cho $x, y, z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz$
Tìm GTNN, GTLN của $P= \frac{x^3+y^3+z^3}{(x+y+z)(xy+xz+yz))}$

Tìm GTNN
Ta sẽ đi chứng minh
$3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)+3xyz$
giả sử $x\geq y\geq z$
$f(x)=\sum (3x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
$f'(x)=9x^{2}-2x(y+z)-y^{2}-z^{2}-3yz=8x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})\geq 0$
nên
$f(x)\geq f(y)=g(y)$
$g'(y)=12y^{2}-10yz-2z^{2}\geq 0$
nên $g(y)\geq g(z)=0$
Vậy $Min=\frac{1}{3}$ khi $x=y=z$

Tìm GTLN
giả sử
$x\leq y\leq z$
đặt $f(x,y,z)=\sum (x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
ta có
$f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})=\frac{(y+z)^{3}}{y^{3}}+\frac{(y+z)^{3}}{z^{3}}+\frac{(y+z)^{4}}{y^{2}z^{2}}-3x\frac{(y+z)^{2}}{yz}$
$g(x)=f(x,y,z)-f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})$

$g'(x)=3x^{2}-2x(y+z)-3yz-(y^{2}+z^{2})+\frac{(y+z)^{2}}{yz}=2x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})+\frac{(y+z)^{2}}{yz}$
từ điều kiện ta có
$2x^{2}\leq z^{2}\Rightarrow g'(x)\leq 0$
vậy $g(x)\leq g(0)=0$ hay $f(x,y,z)\leq f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 1 số bằng không
giả sử số đó là $x$
điều kiện ta có $y^{2}+z^{2}=2yz\Leftrightarrow y=z$
vậy $Maxf(x,y,z)=f(0,y,y)=1$

[provotinhvip]

Tìm GTNN
Ta sẽ đi chứng minh
$3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)+3xyz$
giả sử $x\geq y\geq z$
$f(x)=\sum (3x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
$f'(x)=9x^{2}-2x(y+z)-y^{2}-z^{2}-3yz=8x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})\geq 0$
nên
$f(x)\geq f(y)=g(y)$
$g'(y)=12y^{2}-10yz-2z^{2}\geq 0$
nên $g(y)\geq g(z)=0$
Vậy $Min=\frac{1}{3}$ khi $x=y=z$

Có vẻ pp đạo hàm chữa được bách bệnh nhỉ! cơ mà mình thấy kỳ kỳ!
$x=y=z$? thay vào đk... mình không hiểu lắm!???

[dtvanbinh]

Có vẻ pp đạo hàm chữa được bách bệnh nhỉ! cơ mà mình thấy kỳ kỳ!
$x=y=z$? thay vào đk... mình không hiểu lắm!???

nghĩa là việc chứng minh phá sản

[caovannct]

BĐT Schur đây mà. Các bạn có thể tham khảo phép cm bđt này trong cuốn "Những viên kim cương trong BĐT" Của Thầy Phương

[phuongnamz10A2]

BĐT Schur đây mà. Các bạn có thể tham khảo phép cm bđt này trong cuốn "Những viên kim cương trong BĐT" Của Thầy Phương

Bạn có thể đăng lời giải lên đây đc không?
Tớ không có quyển sách đó