Cho $x, y, z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz$
#1
Đã gửi 11-03-2013 - 20:50
Tìm GTNN, GTLN của $P= \frac{x^3+y^3+z^3}{(x+y+z)(xy+xz+yz))}$
- dtvanbinh và Mai Duc Khai thích
#2
Đã gửi 12-03-2013 - 22:02
#3
Đã gửi 13-03-2013 - 12:30
#4
Đã gửi 13-03-2013 - 16:21
Làm như vậy thì chắc con nít cũng làm đượcTìm min thì dễ rồi nhĩ =1/3
#5
Đã gửi 13-03-2013 - 21:25
Tìm GTNNCho $x, y, z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz$
Tìm GTNN, GTLN của $P= \frac{x^3+y^3+z^3}{(x+y+z)(xy+xz+yz))}$
Ta sẽ đi chứng minh
$3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)+3xyz$
giả sử $x\geq y\geq z$
$f(x)=\sum (3x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
$f'(x)=9x^{2}-2x(y+z)-y^{2}-z^{2}-3yz=8x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})\geq 0$
nên
$f(x)\geq f(y)=g(y)$
$g'(y)=12y^{2}-10yz-2z^{2}\geq 0$
nên $g(y)\geq g(z)=0$
Vậy $Min=\frac{1}{3}$ khi $x=y=z$
Tìm GTLN
giả sử
$x\leq y\leq z$
đặt $f(x,y,z)=\sum (x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
ta có
$f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})=\frac{(y+z)^{3}}{y^{3}}+\frac{(y+z)^{3}}{z^{3}}+\frac{(y+z)^{4}}{y^{2}z^{2}}-3x\frac{(y+z)^{2}}{yz}$
$g(x)=f(x,y,z)-f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})$
$g'(x)=3x^{2}-2x(y+z)-3yz-(y^{2}+z^{2})+\frac{(y+z)^{2}}{yz}=2x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})+\frac{(y+z)^{2}}{yz}$
từ điều kiện ta có
$2x^{2}\leq z^{2}\Rightarrow g'(x)\leq 0$
vậy $g(x)\leq g(0)=0$ hay $f(x,y,z)\leq f(0,\frac{y+z}{y},\frac{y+z}{z})$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 1 số bằng không
giả sử số đó là $x$
điều kiện ta có $y^{2}+z^{2}=2yz\Leftrightarrow y=z$
vậy $Maxf(x,y,z)=f(0,y,y)=1$
- duong vi tuan yêu thích
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#6
Đã gửi 13-03-2013 - 23:19
Có vẻ pp đạo hàm chữa được bách bệnh nhỉ! cơ mà mình thấy kỳ kỳ!Tìm GTNN
Ta sẽ đi chứng minh
$3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)+3xyz$
giả sử $x\geq y\geq z$
$f(x)=\sum (3x^{3}-x^{2}(y+z))-3xyz$
$f'(x)=9x^{2}-2x(y+z)-y^{2}-z^{2}-3yz=8x^{2}-yz-2(y^{2}+z^{2})\geq 0$
nên
$f(x)\geq f(y)=g(y)$
$g'(y)=12y^{2}-10yz-2z^{2}\geq 0$
nên $g(y)\geq g(z)=0$
Vậy $Min=\frac{1}{3}$ khi $x=y=z$
$x=y=z$? thay vào đk... mình không hiểu lắm!???
- dtvanbinh yêu thích
#7
Đã gửi 14-03-2013 - 08:41
nghĩa là việc chứng minh phá sảnCó vẻ pp đạo hàm chữa được bách bệnh nhỉ! cơ mà mình thấy kỳ kỳ!
$x=y=z$? thay vào đk... mình không hiểu lắm!???
- provotinhvip yêu thích
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#8
Đã gửi 16-03-2013 - 13:41
#9
Đã gửi 17-03-2013 - 19:01
Bạn có thể đăng lời giải lên đây đc không?BĐT Schur đây mà. Các bạn có thể tham khảo phép cm bđt này trong cuốn "Những viên kim cương trong BĐT" Của Thầy Phương
Tớ không có quyển sách đó
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh