Chủ đề này có 9 trả lời

[Sagittarius912]

Câu 1:

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Câu 2:

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)+y)=yf(x-f(y))$ ,$\forall x,y \in \mathbb{R}$

[tramyvodoi]

Câu 1:

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Mình xin giải bài này như sau:
Thay x=1, $y=-1-f(1)$ ta được:
$f(f(-1-f(1))+1)=-1-f(1)+f(1)=-1$
Đặt $a=f(-1-f(1))+1$ thì $f(a)=-1$
Thay y=a ta được $f(xf(a)+x)=ax+f(x)$
$\Rightarrow f(0)=ax+f(x)$
$\Rightarrow f(x)=-ax+b$
Thay hàm số vừa tím được vào phương trình ban đầu ta tìm được a, b

[Sagittarius912]

Mình xin giải bài này như sau:
Thay x=1, $y=-1-f(1)$ ta được:
$f(f(-1-f(1))+1)=-1-f(1)+f(1)=-1$
Đặt $a=f(-1-f(1))+1$ thì $f(a)=-1$
Thay y=a ta được $f(xf(a)+x)=ax+f(x)$
$\Rightarrow f(0)=ax+f(x)$
$\Rightarrow f(x)=-ax+b$
Thay hàm số vừa tím được vào phương trình ban đầu ta tìm được a, b

Dạ, vì phần này em mới học nên cũng khá bỡ ngỡ với việc đặt ẩn phụ như thế ạ. Chị có phương pháp gì không khi đặt như thế ạ? Nếu chị có file hay tài liệu gì thì share em với được không ạ?

[namseohihi]

Câu 2

Cho $x=f(y), y\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f(y)=yf(0)$
Đặt $a=f(0)\Rightarrow f(x)=ax$
Thay vào (1) ta có:
$f(x)=0$ $\forall x \in \mathbb{R}$

[perfectstrong]

Câu 2

Cho $x=f(y), y\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f(y)=yf(0)$
Đặt $a=f(0)\Rightarrow f(x)=ax$
Thay vào (1) ta có:
$f(x)=0$ $\forall x \in \mathbb{R}$

Nhầm ngay từ dòng đầu tiên.
Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = yf\left( {x - f\left( y \right)} \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right) \\
y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0,\forall x \in R,\left( 2 \right) \\
\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {yf\left( {x - f\left( y \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( {f\left( x \right) + y} \right)} \right) = 0,\forall x,y \in R \\
y: = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \\
x: = f\left( y \right),\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( y \right) = y.0 = 0,\forall y \in R \\
\end{array}
\]
Thử lại: hàm $f \equiv 0$ thỏa đề.

[Primary]

Nhầm ngay từ dòng đầu tiên.
Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = yf\left( {x - f\left( y \right)} \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right) \\
y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0,\forall x \in R,\left( 2 \right) \\
\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {yf\left( {x - f\left( y \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( {f\left( x \right) + y} \right)} \right) = 0,\forall x,y \in R \\
y: = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \\
x: = f\left( y \right),\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( y \right) = y.0 = 0,\forall y \in R \\
\end{array}
\]
Thử lại: hàm $f \equiv 0$ thỏa đề.

Cho em hỏi chút: tại sao lúc thì dùng $f(x)\equiv 0,f(x)\equiv C$ lúc thì dùng $f(x)=0,f(x)=C$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 12-03-2013 - 08:10

[perfectstrong]

Cho em hỏi chút: tại sao lúc thì dùng $f(x)\equiv 0,f(x)\equiv C$ lúc thì dùng $f(x)=0,f(x)=C$.

Anh nhớ là nếu dùng dấu $\equiv$ thì chỉ có $f \equiv C$. Còn nếu dùng dấu $=$ thì phải là $f(x)=c$ (có thể có $\forall x \in X$, tùy bài)

[namcpnh]

Hình như Hân hiểu nhầm,hồi trước mình nghe thầy mình nói là cả 2 các viết là như nhau,đều phải có $f(x)$.Nếu là hàm hằng thì ta co thể viết vậy,còn không thì phải ghi dấu bằng .

[tramyvodoi]

Hình như Hân hiểu nhầm,hồi trước mình nghe thầy mình nói là cả 2 các viết là như nhau,đều phải có $f(x)$.Nếu là hàm hằng thì ta co thể viết vậy,còn không thì phải ghi dấu bằng .

Theo mình nghĩ là khi f là hàm hằng thi dùng dấu "$\equiv$". Còn không phải hàm hằng thì dùng dấu "="

[namcpnh]

Hàm hằng nhiều khi cũng có ghi bằng được (hình như là khi giải,còn khi kết luận thì phải là $equiv$)

Trong 1 số tài liệu hồi trước đọc thì kí hiệu $equiv$ có nghĩa là đồng nhất,vì thế $f(x) equiv 0 $ có nghĩa là $f$ là hàm đồng nhắt với $0$ (tất cả hệ số đều bằng $0$).