Đến nội dung

Hình ảnh

\begin{cases} & \text{}x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y}+1) \\ & \text{ }x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{x^{2}-x+1}\\ \end{cases}

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
\begin{cases}
& \text{}x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y}+1) \\
& \text{ }x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{x^{2}-x+1}\\
\end{cases}


#2
thanhson95

thanhson95

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Đây là câu hệ phương trình trong đề thi thử đh ở ttbdvh thăng long, bạn mình vừa hỏi 1 câu y hệt, và mình bó tay. Mình về thử google, hóa ra là sai đề, đề đã sửa và đáp án có thể xem tại http://thanglongstud...i-a-va-d-2013/.
Xin trình bày 1 cách giải khác của mình.

\begin{cases}
& x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y^3}+1) \\
& x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{xy-x+1}\\
\end{cases}

Phương trình thứ nhất tương đương
$x^2+xy-2y^2+\sqrt{x+y}-\sqrt{2y}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)+\frac{x-y}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}=0$
$\Leftrightarrow x=y \vee x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}=0$


Dễ thấy phương trình sau vô nghiệm vì điều kiện $x+y\geq 0$. Vậy ta có $x=y$.


Từ đó phương trình thứ 2 trở thành:
$x^{3}-5x^2+14x-4=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$

$\Leftrightarrow x^3-1-5(x^2-1)+14(x-1)=6(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1)$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+1)-5(x-1)(x+1)+14(x-1)=\frac{6x(x-1)}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$
$\Leftrightarrow x=1 \vee x^2-4x+10=\frac{6x}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$


Xét phương trình

$\frac{6x}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}=x^2-4x+10\geq 6$

$\Rightarrow x\geq (\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1$ (**)
$\Leftrightarrow x\geq \frac{x^2-x}{\sqrt[3]{x^2-x+1}-1}>0$

$\Leftrightarrow x(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1)\geq x^2-x$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x+1}\geq x$

$\Leftrightarrow x^2-x+1\geq x^3$

$\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow x\leq 1$
Mặt khác từ (**) dễ thấy $x>1$ nên loại trường hợp này.


Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;1)$


Cách này dài quá :( đáp số có cách xét hàm đặc trưng hay nhưng mình không tìm ra. Cá nhân mình nghĩ cách này tự nhiên hơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhson95: 12-03-2013 - 21:37





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh