\begin{cases} & \text{}x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y}+1) \\ & \text{ }x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{x^{2}-x+1}\\ \end{cases}
#1
Đã gửi 12-03-2013 - 12:47
& \text{}x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y}+1) \\
& \text{ }x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{x^{2}-x+1}\\
\end{cases}
#2
Đã gửi 12-03-2013 - 16:32
Đây là câu hệ phương trình trong đề thi thử đh ở ttbdvh thăng long, bạn mình vừa hỏi 1 câu y hệt, và mình bó tay. Mình về thử google, hóa ra là sai đề, đề đã sửa và đáp án có thể xem tại http://thanglongstud...i-a-va-d-2013/.
Xin trình bày 1 cách giải khác của mình.
\begin{cases}
& x(x+y)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}(\sqrt{2y^3}+1) \\
& x^{2}y-5xy+7(x+y)-4=6\sqrt[3]{xy-x+1}\\
\end{cases}
Phương trình thứ nhất tương đương
$x^2+xy-2y^2+\sqrt{x+y}-\sqrt{2y}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)+\frac{x-y}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}=0$
$\Leftrightarrow x=y \vee x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}=0$
Dễ thấy phương trình sau vô nghiệm vì điều kiện $x+y\geq 0$. Vậy ta có $x=y$.
Từ đó phương trình thứ 2 trở thành:
$x^{3}-5x^2+14x-4=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$
$\Leftrightarrow x^3-1-5(x^2-1)+14(x-1)=6(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1)$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+1)-5(x-1)(x+1)+14(x-1)=\frac{6x(x-1)}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$
$\Leftrightarrow x=1 \vee x^2-4x+10=\frac{6x}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$
Xét phương trình
$\frac{6x}{(\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}=x^2-4x+10\geq 6$
$\Rightarrow x\geq (\sqrt[3]{x^2-x+1})^2+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1$ (**)
$\Leftrightarrow x\geq \frac{x^2-x}{\sqrt[3]{x^2-x+1}-1}>0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1)\geq x^2-x$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x+1}\geq x$
$\Leftrightarrow x^2-x+1\geq x^3$
$\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow x\leq 1$
Mặt khác từ (**) dễ thấy $x>1$ nên loại trường hợp này.
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;1)$
Cách này dài quá đáp số có cách xét hàm đặc trưng hay nhưng mình không tìm ra. Cá nhân mình nghĩ cách này tự nhiên hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhson95: 12-03-2013 - 21:37
- Didier, ducthinh26032011 và WhjteShadow thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh