Chủ đề này có 293 trả lời

[manocanh]

<b>1.Tìm tất cả các số thực $x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2})$

thôi để tôi gợi ý vậy
$x+\dfrac{3}{x-1}=x-1+\dfrac{x+2}{x-1}$ơ thế này thì là giải luôn r�#8220;i

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:41

[marsu]

Đúng là mình đánh sai đề thật, xin lỗi bạn zaizai . Còn bài của Cháu Ngoan hình như ở đây .

Hic , dạo này lẩm cẩm quá

[marsu]

1)Cho phương trỉnh : $M$ là một điểm nào đó nằm trên đường trỏn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Chứng minh rằng tổng $MA^4+MB^4+MC^4$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$ trên đường tròn .
(TH&TT)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:42

[inequalitymaster]

1)1)Cho phương trỉnh : $M$ là một điểm nào đó nằm trên đường trỏn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Chứng minh rằng tổng $MA^4+MB^4+MC^4$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$ trên đường tròn .
(TH&TT)

Bài 1:
do pt có nghiệm nên
$(x^4+1)^2=(ax^3+bx^2+cx)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)$
Đến đây ta cần cm $\dfrac {(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2} \geq \dfrac {4}{3}$ biến đổi tương đương
Bài này nên là tìm cực trị vì nếu cho là tìm cực trị thì vẫn có thể có hướng suy nghĩ ra kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:44

[toandang]

1)Cho phương trỉnh : $M$ là một điểm nào đó nằm trên đường trỏn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Chứng minh rằng tổng $MA^4+MB^4+MC^4$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$ trên đường tròn .
(TH&TT)

Sao kì vậy bạn phải là mũ hai thôi chứ. Kết quả là $6R^2$ thôi phải không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:45

[inequalitymaster]

[quote name='toandang' date='Dec 28 2005, 01:36 PM']Cho mấy em mấy bài bất đẳng thức vừa sức này nhé

1.Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^2(2a+1)+b^2(2b+1)+c^2(2c+1)\leq a^4+b^4+c^4$

2. Cho a,b,c -1
CMR: $a^3+b^3+c^3+3\geq a^4+(a+1)^4\geq 2a^2(2a+1)$ tương đương thôi
2.[$6^3=3^3+4^3+5^3$
Chuyển$6^3$ qua dùng cái trên, bunha r�#8220;i ra luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:46

[marsu]

Sao kì vậy bạn phải là mũ hai thôi chứ. Kết quả là $6R^2$thôi phải không

Mũ 4 đấy, bài đó chỉ cần dùng Ptólemé thui. Kết quả là $\large 2a^4$ với $\large a$ là cạnh $\delta \large ABC$ .

@imathsvn : Bác cho tui xin đề thi vào tổng hợp vừa r�#8220;i ! .Cám ơn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:48

[pc411]

Một số bài suy luận logic và số học
1. Cho bàn cờ hình chữ nhật (không kích thứơc, ô). Có hai người chơi cờ và quy luật để thắng như sau: ai là người đặt quân cờ cuối cùng vào bàn cờ thì người đó thắng (đánh cho đến khi các quân cờ lấp đầy bàn cờ thì thôi). Hãy tìm cách đánh sao cho người đi trước luôn thắng.

2. Cho ô vuông chia thành 25 ô vuông nhỏ (5x5). Đặt 25 con bọ trong mỗi ô vuông. Biết rằng sau một lần vỗ tay thì mỗi con bọ đều di chuyển về 1 ô cạnh nó ( theo hàng dọc hoặc ngang). CMR: sau một lần vỗ tay có ít nhất 1 ô trống.

3. Cho P=1x3x5x7x....x2001. Hỏi 2N-1, 2N và 2N+1 số nào là số chính phương

4. Tìm số nguyên tố p sao cho http://dientuvietnam...etex.cgi?p^2 44 là số nguyên tố (bài này dễ)

em có ý tưởng cho bài 1 nè ( chắc đúng đó ) : người đi trước sẽ đặt quân cờ vào chính giữa bàn cờ . Sau đó đến lượt người kia đi , mình chỉ cần đi quân đối xứng với quân của người đó qua quân chính giữa . Vậy nếu người kia còn đi được thì mình cũng còn đi được ( vì quân của mình luôn đối xứng với quân của người kia wa quân chính giữa ) vậy chắc chắn người đi trước thắng .
Ồ chiều nay thi văn rồi ,hic . Đi học thôi
còn bài 2 đó , có cần thiết ô trống thì con bọ mới di chuyển vào được ko
bài 3 anh post lại đi .

[pc411]

có thể các bạn thcs đã từng gặp bdt schur trong các bài tập cm bdt mà các bạn ko biết đấy :
vd: cm , voi moi $a,b,c>=0
a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) +z(z-x)(z-y) >= 0$
hay $abc >= (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:48

[toandang]

Một số bài suy luận logic và số học
1. Cho bàn cờ hình chữ nhật (không kích thứơc, ô). Có hai người chơi cờ và quy luật để thắng như sau: ai là người đặt quân cờ cuối cùng vào bàn cờ thì người đó thắng (đánh cho đến khi các quân cờ lấp đầy bàn cờ thì thôi). Hãy tìm cách đánh sao cho người đi trước luôn thắng.

2. Cho ô vuông chia thành 25 ô vuông nhỏ (5x5). Đặt 25 con bọ trong mỗi ô vuông. Biết rằng sau một lần vỗ tay thì mỗi con bọ đều di chuyển về 1 ô cạnh nó ( theo hàng dọc hoặc ngang). CMR: sau một lần vỗ tay có ít nhất 1 ô trống.

3. Cho P=1x3x5x7x....x2001. Hỏi 2N-1, 2N và 2N+1 số nào là số chính phương

4. Tìm số nguyên tố p sao cho http://dientuvietnam...etex.cgi?p^2 44 là số nguyên tố (bài này dễ)

em có ý tưởng cho bài 1 nè ( chắc đúng đó ) : người đi trước sẽ đặt quân cờ vào chính giữa bàn cờ . Sau đó đến lượt người kia đi , mình chỉ cần đi quân đối xứng với quân của người đó qua quân chính giữa . Vậy nếu người kia còn đi được thì mình cũng còn đi được ( vì quân của mình luôn đối xứng với quân của người kia wa quân chính giữa ) vậy chắc chắn người đi trước thắng .
Ồ chiều nay thi văn rồi ,hic . Đi học thôi
còn bài 2 đó , có cần thiết ô trống thì con bọ mới di chuyển vào được ko
bài 3 anh post lại đi .

Bài 1 em giải đúng rồi. Bài 2 thì nhiều con có thể vào 1 ô chứ sao. Nó chỉ di chuyển vào 1 ô cạnh nó (theo dọc hay ngang thôi)
Bài 3 có gì đâu mà phải đánh lại hả em

[pc411]

bài 4 : xét trường hợp của p khi chia cho 3 . Vì p thuộc N nên số dư của p khi chia cho 3 là : 0, 1 ,2 thế số dư 1,2 vào p^2+144 ta sẽ loại hai trường hợp này . Vậy p chia hết cho 3 . P=3

[pc411]

còn bài 2 , em đã có hướng : nếu như 2 con bọ vào cùng 1 ô sau một lần vỗ tay thì số ô trống sẽ lớn hơn 1 . Ta xét trường hợp ít nhất : khi con bọ này chuyển sang ô khác , thì con bọ kia vào ô con mới chuyển . vậy hai vòng ngoài số bọ sẽ chuyển theo thứ tự ( theo chiều kim hoặc ngược chiều kim đồng hồ ) vừa đủ . Vậy là còn dư con bọ ở chính giữa chưa di chuyển , nó phải di chuyển -> ít nhất 1 ô còn trống .

[toandang]

bài 4 : xét trường hợp của p khi chia cho 3 . Vì p thuộc N nên số dư của p khi chia cho 3 là : 0, 1 ,2 thế số dư 1,2 vào p^2+144 ta sẽ loại hai trường hợp này . Vậy p chia hết cho 3 . P=3

P=N đếy em xin lỗi nhé.

[toandang]

còn bài 2 , em đã có hướng : nếu như 2 con bọ vào cùng 1 ô sau một lần vỗ tay thì số ô trống sẽ lớn hơn 1 . Ta xét trường hợp ít nhất : khi con bọ này chuyển sang ô khác , thì con bọ kia vào ô con mới chuyển . vậy hai vòng ngoài số bọ sẽ chuyển theo thứ tự ( theo chiều kim hoặc ngược chiều kim đồng hồ ) vừa đủ . Vậy là còn dư con bọ ở chính giữa chưa di chuyển , nó phải di chuyển -> ít nhất 1 ô còn trống .

bài này em làm cách dài dòng quá. tô màu đó em (ôn lại thời mẫu giáo) bởi vậy bài này bà cô bảo, bài này cho mẩu giáo làm.
Em giải sai rùi
ai nói là vòng ngoài nhảy theo chiều kim đồng hồ lỡ nó nhảy vào trong thì sao (hàng ngang lẫn dọc mà em)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toandang: 29-12-2005 - 22:33

[CDN]

Bài siêu dễ này:
$a,b,c>0.abc=1$CM:
$\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\le1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:49

[manocanh]

Một bài toán trong cuốn sách của Hojoo Lee :
Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n},x_{n+1}$ là các số thực dương thỏa mãn :
$x_{n+1}=x_{1}+...+x_{n}$ . Chứng minh rằng :
$ \sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}(x_{n+1}-x_{i})} \leq\sqrt{x_{n+1}(x_{n+1}-x{i}) $
Giải :

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}(x_{n+1}-x_{i})}= \sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}( \sum\limits_{i \neq j})}$
Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có
$\sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}( \sum\limits_{i \neq j}{x_{j})}} \leq \sqrt{n \sum\limits_{i \neq j}{x_{i}y_{j}}$(1)
ta cũng có :
${n \sum\limits_{i \neq j}{x_{i}y_{j}}\leq (n-1)(\sum\limits_{i}{x_{i})^2$( 2) (biến đổi tương đương ra tổng các bình phương )
từ (1) và (2) --> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:51

[CDN]

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

Sao bài cho các em lớp 9 lại dùng Jensen???

Bài dễ:
1.$a,b,c>0, a^2+b^2+c^2=1$
Tìm min $ \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{3}{1+b}+\dfrac{2a}{1+c}\ge\dfrac{2(2-a)}{1+\sqrt{ab}}+\dfrac{2(1+a)}{1+\sqrt{bc}}+\dfrac{2(a-1)}{1+\sqrt{ac}}
3.a,b,c>0, a^3+b^3+c^3=1$
Tìm min: $\dfrac{a^2}{b^3+c^3}+\dfrac{b^2}{a^3+c^3}+\dfrac{c^2}{a^3+b^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:52

[Lee Sr]

<span style='color:red'>Đề thi vào chuyên trường ĐHTH Hà Nội Năm 1993-1994</span>
Bài 1:
a)Giải phương trình
$\left\{\begin{array}{l}x^{3}+2xy^{2}+12y=0\\8y^{2}+x^{2}=12\end{array}\right.$
Bài 2:
Tìm max và min của
$A=x^{2}y(4-x-y) $ khi $x,y$ thay đổi thỏa mãn$ x ,y \geq 0 ; x+y \leq 6 $
Bài 3:
Cho hình thoi ABCD .Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các ABD,ABC và a là độ dài cạnh hình thoi .CMR:
$ \dfrac{1}{r^{2}} + \dfrac{1}{r^{2}} = \dfrac{4}{a^{2$
Bài 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho
$A= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{1}{ac} $ nhận giá trị nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_galois: 09-05-2009 - 06:55

[pc411]

còn bài 2 , em đã có hướng : nếu như 2 con bọ vào cùng 1 ô sau một lần vỗ tay thì số ô trống sẽ lớn hơn 1 . Ta xét trường hợp ít nhất : khi con bọ này chuyển sang ô khác , thì con bọ kia vào ô con mới chuyển . vậy hai vòng ngoài số bọ sẽ chuyển theo thứ tự ( theo chiều kim hoặc ngược chiều kim đồng hồ ) vừa đủ . Vậy là còn dư con bọ ở chính giữa chưa di chuyển , nó phải di chuyển -> ít nhất 1 ô còn trống .

bài này em làm cách dài dòng quá. tô màu đó em (ôn lại thời mẫu giáo) bởi vậy bài này bà cô bảo, bài này cho mẩu giáo làm.
Em giải sai rùi
ai nói là vòng ngoài nhảy theo chiều kim đồng hồ lỡ nó nhảy vào trong thì sao (hàng ngang lẫn dọc mà em)

hihi em lộn xộn quá , xin lỗi . Cách giải chính xác nè : Điề trên cũng đúng với số ô vuông là bình phương của một số lẻ .Vì : nếu ta tô màu trắng đen xen kẽ cho các ô( giống bàn cờ vua) thì sẽ có số màu này nhiều hơn số ô màu kia một ô .giả sử số ô đen nhiều hơn . Ta sẽ thấy sau một lần vỗ tay thì các con bọ ở ô trắng sẽ nhảy sang ô màu đen , xét trường hợp ít nhất , ta thấy nếu mỗi con bọ ở ô trắng nhảy vào 1 ô đen thì .... sẽ còn dư 1 ô đen (vì như đã nói , số ô đen nhiều hơn số ô trắng một ô ) -> đpcm

[toandang]

còn bài 2 , em đã có hướng : nếu như 2 con bọ vào cùng 1 ô sau một lần vỗ tay thì số ô trống sẽ lớn hơn 1 . Ta xét trường hợp ít nhất : khi con bọ này chuyển sang ô khác , thì con bọ kia vào ô con mới chuyển . vậy hai vòng ngoài số bọ sẽ chuyển theo thứ tự ( theo chiều kim hoặc ngược chiều kim đồng hồ ) vừa đủ . Vậy là còn dư con bọ ở chính giữa chưa di chuyển , nó phải di chuyển -> ít nhất 1 ô còn trống .

bài này em làm cách dài dòng quá. tô màu đó em (ôn lại thời mẫu giáo) bởi vậy bài này bà cô bảo, bài này cho mẩu giáo làm.
Em giải sai rùi
ai nói là vòng ngoài nhảy theo chiều kim đồng hồ lỡ nó nhảy vào trong thì sao (hàng ngang lẫn dọc mà em)

hihi em lộn xộn quá , xin lỗi . Cách giải chính xác nè : Điề trên cũng đúng với số ô vuông là bình phương của một số lẻ .Vì : nếu ta tô màu trắng đen xen kẽ cho các ô( giống bàn cờ vua) thì sẽ có số màu này nhiều hơn số ô màu kia một ô .giả sử số ô đen nhiều hơn . Ta sẽ thấy sau một lần vỗ tay thì các con bọ ở ô trắng sẽ nhảy sang ô màu đen , xét trường hợp ít nhất , ta thấy nếu mỗi con bọ ở ô trắng nhảy vào 1 ô đen thì .... sẽ còn dư 1 ô đen (vì như đã nói , số ô đen nhiều hơn số ô trắng một ô ) -> đpcm

chính xác 100%