Chủ đề này có 3 trả lời

[Anh Vinh]

Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE , CF bằng nhau . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Spoiler

28

[nk0kckungtjnh]

Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE , CF bằng nhau . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Spoiler

28

Trên BC lấy H và I sao cho $\angle BEI=\angle BAC\angle HEC$
Tam giác FBJ đồng dạng EKC(g.g) nên $\angle KEC=\angle BFI$ Nên tứ giác BFEC nội tiếp
nên $\angle ACB=\angle ABC$ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 14-03-2013 - 19:10

[nk0kckungtjnh]

Cách 2: Áp dụng bài toán sau: Cho tam giác ABC, biết độ dài 3 cạnh AB,BC,AC lần lượt:12,18,15 Tính fân giác AD


Trở lại bài toán trên....Đặt AB=c, BC=a, AC=b
Tính ra độ dài BE,CF. Mặt khác chúng bằng nhau, nên dùng biến đổi đại số, kết quả cuối là
(b-c)( F(a,b,c) ) =0 Nên b=c Hay AB=AC ĐPCM

[Anh Vinh]

Đặt $\widehat{B}=2\beta$ ; $\widehat{A}=2\alpha $ , dựng hình bình hành BECK ta có CK=BE=CF , suy ra tam giác CFK cân tại C $\Rightarrow $ $\widehat{CFK}=\widehat{CKF}=\dfrac{180^0-\alpha -\beta}{2} = 90^0-\dfrac{\alpha }{2}+\dfrac{\beta }{2}$
Mặt khác $\widehat{BFC}=180^0-\alpha -2\beta \Rightarrow \widehat{BFK}=\widehat{BFC}-\widehat{CFK}=90^0-\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{3\beta }{2}\Rightarrow \widehat{BFK}=(90^0-\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\beta }{2})-\beta $
Ta lại có $\widehat{BKC}=180^0-2\alpha -\beta \Rightarrow \widehat{BKF}=\widehat{BKC}-\widehat{CKF}=90^0-\dfrac{3\alpha }{2}-\dfrac{\beta }{2}\Rightarrow \widehat{BKF}=(90^0-\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\beta }{2})-\alpha $
Với $\beta >\alpha $ , Ta có : $\widehat{BFK}<\widehat{BKF}$
$\Rightarrow $ BK<BF (3)
Mặt khác $\Delta EBC$ và $\Delta FCB$ có chung cạnh BC , BE=CF , $\widehat{EBC}>\widehat{FCB}$ $\Rightarrow$ CE>BF
Điều này mâu thuẫn với (3)
Với $\alpha >\beta $, chứng minh tương tự cũng dẫn tới vô lí
Vậy $\alpha =\beta$ hay ABC là tam giác cân tại A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Vinh: 15-03-2013 - 16:40