Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $a^n+b^n=x^n+y^n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
Cho a+b=x+y và $a^2+b^2=x^2+y^2$
chứng minh với mọi số dương n ta có:$a^n+b^n=x^n+y^n$

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#2
Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
$\oplus$ Ta có:
$a^2+b^2=x^2+y^2$
$\Longleftrightarrow$ $(a-b)^2-2ab=(x-y)^2-2xy$
$\Longleftrightarrow$ $xy=ab$
$\oplus$ Đến đây, ta phân tích đa thức $a^n+b^n=...$, $x^n+y^n=...$ và kết hợp với $ab=xy ; a+b=x+y$, ta được, $QED$

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#3
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

Cho $a+b=x+y(1)$ và $a^2+b^2=x^2+y^2$
chứng minh với mọi số dương n ta có:$a^n+b^n=x^n+y^n$

Từ giả thiết suy ra $ab=xy$
Với $n=3,4,5...$ thì $a^n+b^n=x^n+y^n$
Giả sử điều này đúng với n thuộc dãy số tự nhiên liên tiếp từ $3\rightarrow k$
thì $a^k+b^k=x^k+y^k(2)$
Nhân (2) với (1) được $(a^k+b^k)(a+b)=(x^k+y^k)(x+y)=>a^{k+1}+b^{k+1}+ab(a^{n-1}+b^{n-1})=x^{k+1}+y^{k+1}+xy(x^{n-1}+y^{n-1})=>a^{k+1}+b^{k+1}=x^{k+1}+y^{k+1}$
Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 14-03-2013 - 18:53

Link

 


#4
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Cho a+b=x+y và $a^2+b^2=x^2+y^2$
chứng minh với mọi số dương n ta có:$a^n+b^n=x^n+y^n$

Dễ dàng chứng minh được $ab=xy$ như mấy bạn ở trên :D
Cho $m=a+b,t=ab$ xét phương trình bậc hai $x^2-mx+t=0$ chỉ có duy nhất hai nghiệm nên $(a;b)=(x;y)$ hoặc $(a;b)=(y;x)$ nên $a^n+b^n=x^n+y^n$ >:)
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5
hoangtunglam

hoangtunglam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Từ giả thiết suy ra ab=xy
Với n=3,4,5... thì an+bn[/size]=xn[/size]+yn[/size][/size]
Giả sử điều này đúng với n thuộc dãy số tự nhiên liên tiếp từ 3k
thì ak+bk[/size]=xk[/size]+yk[/size](2)[/size]
Nhân (2) với (1) được (ak+bk[/size])(a+b)=(xk[/size]+yk[/size])(x+y)=>ak[/size]+[/size]1[/size]+bk[/size]+[/size]1[/size]+ab(an[/size]−[/size]1[/size]+bn[/size]−[/size]1[/size])=xk[/size]+[/size]1[/size]+yk[/size]+[/size]1[/size]+xy(xn[/size]−[/size]1[/size]+yn[/size]−[/size]1[/size])=>ak[/size]+[/size]1[/size]+bk[/size]+[/size]1[/size]=xk[/size]+[/size]1[/size]+yk[/size]+[/size]1[/size][/size]

Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta có dpcm:ukliam2: 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh