Đến nội dung

Hình ảnh

PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

- - - - - tuyển tập sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#61
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài 45: Cho hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f(x)\not\equiv 0$. $CMR:g(x)\geq -1$

 

Bài 46: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 47: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:$f(x)=f\left (x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9} \right),\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 45 mình chép thiếu đề nên mình để thêm 3 ngày nữa :P  còn bài 46 cho thêm điều kiện liên tục nữa là dùng được hàm Cauchy :))

Lời giải bài 46 bên $ML$ (bởi pco):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $u=-\dfrac{f(0)}{2}$

$P(0,u)\Rightarrow f(f(u))=0$ và $P(0,f(u))\Rightarrow f(u)=0\Rightarrow f(0)=0$

$P(0.x)\Rightarrow f(f(x))=2x\Rightarrow f(2x)=f(f(f(x)))=2f(x)$

$P(x,f(\frac{y}{2}))\Rightarrow f(x+y)=f(x)+2f(\frac{y}{2})=f(x)+f(y)$

Vậy $f$ cộng tính kết hợp với điều kiện liên tục nên $f(x)=a x$

Thử lại tìm được $a=\pm \sqrt{2}\Rightarrow \boxed{f(x)=\pm x\sqrt{2}}$

 

Bài này khá quen thuộc, ta giải bằng cách xây dựng dãy số.

Do $f(x)=f(-x-\frac{1}{3})$ nên ta chỉ cần xét $x \geq \frac {-1}{6}$

. . .

Tương tự với $ x \in (\frac {1}{3},+\infty)$ ta cũng xây dựng được dãy số và chứng minh được $f(x)=f(\frac{1}{3}), \forall x \in (\frac {1}{3},+\infty)$

Cần chỉ ra rằng $f(x)=f(x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9})=f((-x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}(-x-\frac{1}{3})+\frac{1}{9})=f(-x-\frac{1}{3})$

Với $x\in (\frac{1}{3},+\infty)$ xây dựng dãy như sau

$x_0=x$ và $x_{n+1}$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình $x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=x_n$ (ẩn $x$)

 

-----------------------

Đề mới:

 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa: $f(x)>(x-y)(f(y))^2,\forall x,y\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Bài 50: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 09-07-2013 - 13:23

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#62
mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Cho $x=y=0$ được $f(0)=0$

Cho $y=-1$ được $f(x)=-f(-x)$

Cho $y=\frac{1}{2x}$ được $f(x+1)=f(x)+2f(\frac{1}{2})$

Cho $x=1,y=\frac{-1}{2}$ được $f(1)=2f(\frac{1}{2})$

Suy ra $f(x+1)=f(x)+f(1)$

Vay $f(1992)=\frac{1992a}{1991}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 09-07-2013 - 15:51


#63
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài 45: Cho hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f(x)\not\equiv 0$. $CMR:g(x)\geq -1$

Lời giải của pco:

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$

Do $f(x)\not\equiv 0$ nên $\exists u$ sao cho $f(u)\neq 0$

$1)$ Nếu $f(0)\neq 0\Rightarrow g(x)\geq -1$

$(a): P(u,x)\Rightarrow f(u+x)+f(u-x)=2f(u)g(x)$

$(b): P(u,-x)\Rightarrow f(u-x)+f(u+x)=2f(u)g(-x)$

$(a)-(b)\Rightarrow g(x)=g(-x)$

$( c ): P(0,x)\Rightarrow f(x)+f(-x)=2f(0)g(x)$

$(d): P(0,2x)\Rightarrow f(2x)+f(-2x)=2f(0)g(2x)$

$(e): P(x,-x)\Rightarrow f(0)+f(2x)=2f(x)g(-x)=2f(x)g(x)$

$(f): P(-x,x)\Rightarrow f(-2x)+f(0)=2f(-x)g(x)$

$2g(x)\cdot ( c )-(d)+(e)+(f):2f(0)=4f(0)(g(x))^2-2f(0)g(2x)$

$\Rightarrow g(2x)=-1+2(g(x))^2\geq -1(DPCM)$

 

$2)$ Nếu $f(0)=0\Rightarrow g(x)\geq -1$

-Với $f(x)\neq 0$

$(a): P(x,x)\Rightarrow f(2x)=2f(x)g(x)$

$(b): P(0,x)\Rightarrow f(x)+f(-x)=0$

$( c ): P(2x,x)\Rightarrow f(3x)+f(x)=2f(2x)g(x)$

$(d): P(x,2x)\Rightarrow f(3x)+f(-x)=2f(x)g(2x)$

$2g(x)\cdot (a)+(b)+( c )-(d):2f(x)=-2f(x)g(2x)+4f(x)(g(x))^2\Rightarrow f(x)(g(2x)+1-(g(x))^2)=0$

Do $f(x)\neq 0\Rightarrow g(2x)=-1+(g(x))^2\geq -1(DPCM)$

-Với $f(x)=0$

$P(x,x)\Rightarrow f(2x)=0$

$(a): P(u,2x)\Rightarrow f(u+2x)+f(u-2x)=2f(u)g(2x)$

$(b): P(2x,u)\Rightarrow f(2x+u)+f(2x-u)=0$

$( c ): P(0,2x-u)\Rightarrow f(2x-u)+f(u-2x)=0$

$(a)+(b)-( c ):f(u+2x)=f(u)g(2x)$

$\Rightarrow f(u+4x)=f(u+2x)g(2x)=f(u)(g(2x))^2,(*)$

$P(u+2x;2x)\Rightarrow f(u+4x)+f(u)=2f(u+2x)g(2x)=2f(u)(g(2x))^2\Rightarrow f(u+4x)=f(u)((g(2x))^2-1)=0,(**)$

So sánh giữa $(*)$ và $(**)$ ta có $f(u)((g(2x)^2-1)=0\Rightarrow (g(2x))^2=1\Rightarrow g(2x)\geq -1(DPCM)$

 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa: $f(x)>(x-y)(f(y))^2,\forall x,y\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Bài 50: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 48: (bởi pco):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x)>(x-y)(f(y))^2$

Đặt $a=1+\dfrac{1}{(f(1))^2}: P(a,1)\Rightarrow f(a)>1$

Cho dãy tăng $a_n$ thỏa $a_0=a$ và $a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{f(a_n)}$

$P(a_{n+1},a_n)\Rightarrow f(a_{n+1})>2f(a_n\Rightarrow f(a_n)>2^n$ và sử dụng qui nạp chứng minh được $a_n<a+4$

$P(a+5,a_n)\Rightarrow f(a+5)>(a+5-a_n)(f(a_n))^2>2^{2n},\forall n\in \mathbb{N}$ (vô lí).

Vậy không có hàm nào thỏa đề.

 

Bài 50: (bởi Batominovski):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y$

Đặt $s=f(0),a=s^2+s$

$P(0,0)\Rightarrow f(a)=0$

$P(a,a)\Rightarrow s=f(0)=a=s^2+s\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\Rightarrow f((f(x))^2)=xf(x)$

$P(0,x)\Rightarrow f(f(x))=x$. Vậy $f$ song ánh.

$P(f(x),0)\Rightarrow f(x^2)=f(x)f(f(x))=xf(x)=f((f(x))^2)$

$\Rightarrow (f(x))^2=x^2\Rightarrow f(x)=\pm x$

Ta thấy $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$ thỏa.

Nếu tồn tại $u\neq 0,v\neq 0$ mà $f(u)=-u,f(v)=v$ thì

$P(u,v)\Rightarrow \pm (u^2+v)=f((f(u))^2+f(v))=uf(u)+v=-u^2+v$ (vô lí)

Do đó chỉ còn hai hàm $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$.

Vậy các hàm thỏa đề là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ :))

-----------------------------------

Đề mới:

 

Bài 51: Cho hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(3x)\geq f(\frac{1}{2}f(2x))+2x,\forall x\in \mathbb{R^+}$. $CMR:f(x)\geq x,\forall x\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 52: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y)+1,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 53: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)-f(x-y)=4 \sqrt{f(x)f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 28-07-2013 - 10:49

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#64
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

 

 

Bài 53: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)-f(x-y)=4 \sqrt{f(x)f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

 

Bài này dư dữ kiện liên tục .

 

Ta có $f(0)=0$ .

 

Chọn $x=0$ ta có $f$ lẻ .

 

Thay $y$ bởi $-y$ và kết hợp đề bài ta có : $f(x+y)=f(x-y)$ => $f(x)=0$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#65
zorrono1

zorrono1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
 

Liệu mình có nhìn nhầm không khi $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$

$<=> 1>0 $ thfi có điều gì vô lý bạn?



#66
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Liệu mình có nhìn nhầm không khi $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$

$<=> 1>0 $ thfi có điều gì vô lý bạn?

$n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T\Rightarrow n+T+1>f(m)>n+T$

Vì $n+T$ và $n+T+1$ là hai số tự nhiên liền kề nhau thì không thể tồn tại $f(m)\in \mathbb{N}$ xen giữa 2 số đó được :)


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#67
NS 10a1

NS 10a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Ta sẽ chứng minh $f(n+1)-f(n)=1$
Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
Ta có $f(n+k)=f(n+k-1)+1=...=f(n)+k$
Với $n=0$ thì $f(f(0))=T$
Cho $f(0)=t$ được $f(t)=T$
Ta có $f(t)-f(0)=T-t=t \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}$
Mà $f(x)=x+f(0)$ nên hàm cần tìm là $f(x)=x+\dfrac{T}{2}$ :biggrin:

$f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí)  Cho e hỏi tại sao chỗ này lại vô lí ạ. E k học PT hàm nhiều nên k biết mấy cái này



#68
JokerLegend

JokerLegend

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

$f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí)  Cho e hỏi tại sao chỗ này lại vô lí ạ. E k học PT hàm nhiều nên k biết mấy cái này

Cái này là nguyên lí kẹp hay định lí kẹp ấy...


               Thấy đúng like nha.Lịch sự đi


#69
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

 

Bài 52: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y)+1,\forall x,y\in \mathbb{R}$   (1) 

 

Đặt $g(x)=f(x)-1$ khi đó từ $(1)$ ta có:

$g(x+y)+g(xy)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)$ $\forall x\in R$           $(2)$

Từ $(1)$ cho $y=-1$ ta được:

$f(x+1)=f(1)f(x)+f(1)$

Từ đây ta dễ dàng tính được $f(1)={-1,0,1}$

Áp dụng (2)

Nếu $(1)=0$ suy ra $f(x)=0$ thử lại thấy thỏa

Nếu $f(1)=-1$ dễ thấy không tồn tại

Nếu $f(1)=1$ ta chứng minh được $f$ là hàm lẻ

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ ta được

$f(x+y)-f(xy)=f(x)-f(y)-f(x)f(y)$                                                   $3$

Cộng $(1)$ và $(4)$ ta thu được

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$                $(4)$

Từ (1) cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0$.Từ (3) cho $y=x$

        $f(2x)=2f(x)

Từ (3) đặt $u=x+y,v=x-y$ ta thu được

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Suy ra $f(xy)=f(x)f(y)$

Suy ra $f(x)=0,f(x)=x$ $\forall x\in R$


:lol:Thuận :lol:

#70
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Mình ủng hộ ý kiến bạn Nam .Mình xin góp vui 1 bài.

 

 

 

Đặt $P(x,y)$ có tính chất $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

 

$P(0,0)=>f(f(0))=0$

 

$P(0,x)=>f(x+f(0))=f(x)+1$

 

$P(x,f(0))=>f(f(x)+f(0))=f(x+f(0))+xf(f(0))-xf(0)-x+1$

 

=> $f(f(x)+f(0))=f(x)+1+xf(0)+x-xf(0)-x+1=f(x)+2$

 

=> $f(x)=x+2-f(0)$

 

Thay vào ta được $f(0)=1$

 

Thử lại $f(x)=x+1$ thoả .

 

Vậy $f(x)=x+1, \forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải này chưa đúng do $f(x)$ chưa toàn ánh.



#71
trang331

trang331

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

io


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang331: 21-10-2014 - 23:38


#72
Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

 nếu đề bài 34 tại đây thì giải ntn



#73
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục ( $f:R\rightarrow R$ ) thỏa : 

                            $f(x).y+f(y).x=(x+y).f(x).f(y)$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#74
Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

f$f\left ( xf(y) \right )+y+f(x)=f(x+f(y))+ yf(x) \forall x,y\in \mathbb{R}$ 



#75
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Bài 47 là đề VNTST 2007

Bài 46: 

 

Cho x = 0 ta được : $f(f(y))=2y+f(0)$

Do đó f là song ánh Cho tiếp y = 0 ta được ngay $f(0)=0$

Do đó $f(x+f(y))=f(x)+2y=f(x)+f(f(y))$ suy ra ngay f là hàm cộng tính ( Do f toàn ánh ) 

 

Mà f liên tục nên $f(x)=kx$

Thử lại được $k=\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 18-08-2015 - 21:43

          

 

 

 


#76
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :

  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

 

Em hỏi bài này tương tự thì làm ntn anh?

 

Tìm tất cả các hàm: $f:$ N* $\to$ N* thỏa mãn:

1.  $f(f(f(n))) = n + 2013$

2. $f(n + 1) > f(n)$



#77
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

f$f\left ( xf(y) \right )+y+f(x)=f(x+f(y))+ yf(x) \forall x,y\in \mathbb{R}$ 

 

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của $f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x)$

 
Nếu $f(0)=1$, suy ra:
$P(0,x)$ $\implies$ $f(f(x))=2$ suy ra $f(1)=2$ và $f(x)$ không đơn ánh
$P(1,x)$ $\implies$ $f(1+f(x))=4-x$ suy ra $f(x)$ đơn ánh, suy ra điều mâu thuẫn với phép thế trên.
 
Suy ra $f(0)\ne 1$ hoặc $P(0,x)$ $\Rightarrow$ $f(f(x))=x(1-f(0))+2f(0)$ và $f(x)$ toàn ánh.
 
Đặt $u$ sao cho $f(u)=0$ : $P(x,u)$ $\implies$ $uf(x)=f(0)+u$
Suy ra $u=0$ (vì nếu không thì $f(x)$ hàm hằng,mâu thuẫn với $f$ toàn ánh). 
Suy ra $f(0)=0$ và $P(0,x)$$\Rightarrow$ $f(f(x))=x$
 
Nếu $f(1)\ne 1$, suy ra $P(\frac{f(1)}{f(1)-1},1)$ $\Rightarrow$ $0=1$, vô lí.
Suy ra $f(1)=1$
$P(1,f(x))$ $\implies$ $f(x+1)=f(x)+1$
Từ $P(x,y)$ cho $P(x,y+1)$, ta có $f(xf(y)+x)=f(xf(y))+f(x)$
Do đó $f(x)$ là hàm cộng tính (vì $f$ song ánh)
 
Lại có $P(x,f(y))$ $\Rightarrow$ $f(xy)=f(x)f(y)$ suy ra $f(x)$ là hàm nhân tính.
 
Dễ dàng thấy $f(x)$ vừa nhân tính, cộng tính ,mà $f$ lại toàn ánh, vì vậy
 
$\boxed{f(x)=x\text{  }\forall x}$, thử lại thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 16-05-2021 - 14:55






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tuyển tập, sưu tầm.

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh