Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

tuyển tập sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 75 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-03-2013 - 18:29

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mong các bạn hãy đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt đầu vấn đề chính.

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :
  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 14-03-2013 - 21:07

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :

  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

Ta sẽ chứng minh $f(n+1)-f(n)=1$
Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
Ta có $f(n+k)=f(n+k-1)+1=...=f(n)+k$
Với $n=0$ thì $f(f(0))=T$
Cho $f(0)=t$ được $f(t)=T$
Ta có $f(t)-f(0)=T-t=t \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}$
Mà $f(x)=x+f(0)$ nên hàm cần tìm là $f(x)=x+\dfrac{T}{2}$ :biggrin:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 15-03-2013 - 11:02

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 15-03-2013 - 20:39

Thêm bài khác đi anh, em không có ôn PTH trên các hàm khác $\mathbb{R}$ ( vì 30-4 khối 11 không cho).

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-03-2013 - 21:23

Thêm bài khác đi anh, em không có ôn PTH trên các hàm khác $\mathbb{R}$ ( vì 30-4 khối 11 không cho).

Thế nếu bây giờ anh bỏ đi điều kiện 2 là $f(n+1)>f(n)$ thì bài toán còn giải được không ? Em hãy suy nghĩ đi nhé ,trước khi ta bắt đầu bài mới ;)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 15-03-2013 - 21:58

Thế nếu bây giờ anh bỏ đi điều kiện 2 là $f(n+1)>f(n)$ thì bài toán còn giải được không ? Em hãy suy nghĩ đi nhé ,trước khi ta bắt đầu bài mới ;)

Bỏ điều kiện 2 đi thì ta làm như sau :D
Đặt $f(n)=g(n)+n$
Ta được $g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n=n+T$ hay $g(f(n))=T-g(n)$
Cho $n=f(m)$ được $g(f(f(m)))=T-g(f(m)) \Rightarrow g(m+T)=g(m)$
Vậy $f(n)=n+g(n)$ với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$ chu kì $T$ >:)
Giờ ra tiếp bài mới được chưa ạ :luoi:

Khi bạn đặt $g(n)=f(n)-n$, bạn có đảm bảo $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$?

Thì mình mới nói là "với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$", chứ cũng không chắc là $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ đâu bạn ạ :luoi:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 15-03-2013 - 22:20

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 15-03-2013 - 22:12

Bỏ điều kiện 2 đi thì ta làm như sau :D
Đặt $f(n)=g(n)+n$
Ta được $g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n=n+T$ hay $g(f(n))=T-g(n)$
Cho $n=f(m)$ được $g(f(f(m)))=T-g(f(m)) \Rightarrow g(m+T)=g(m)$
Vậy $f(n)=n+g(n)$ với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$ chu kì $T$ >:)
Giờ ra tiếp bài mới được chưa ạ :luoi:

Khi bạn đặt $g(n)=f(n)-n$, bạn có đảm bảo $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 11:14

Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.

Bài toán 3: Giả sử $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ là 1 hàm tăng sao cho :
$$f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))),\quad \forall x,y \in \mathbb{R^+}.$$
Chứng minh rằng $f(x) = {f^{ - 1}}(x).$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 17-03-2013 - 16:36

Tiếp tục đề mới nào :)
Bài toán 3: Giả sử $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ là 1 hàm tăng sao cho :
$$f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))),\quad \forall x,y \in \mathbb{R^+}.$$
Chứng minh rằng $f(x) = {f^{ - 1}}(x).$


Nghe vẻ bài 3 dễ hơn :)
Thay $x,y$ bằng $x+f(y),y+f(x)$
Ta được $$f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(f(x+f(y)) + f(y+f(x))) = f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
$$\Leftrightarrow f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
Giả sử $f(y) \geq y$ Vì là hàm tăng nên
$$f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
$$\geq f(f(x + f(y)+y+f(x)) + f(y + f(x)+x+f(y)))$$
$$\geq f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(x + y) + f(f(x) + f(y))$$
Vậy $f(x)=x$ :D
$f^{-1}(x)$ là hàm ngược thì phải không biết có chứng minh được đề không
:mellow:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 19-03-2013 - 11:40

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#9 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 17-03-2013 - 18:03

Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.


Bài này thiếu đề không anh? Theo em nghĩ là cần toàn ánh nữa.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#10 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 18:09

Bài này thiếu đề không anh? Theo em nghĩ là cần toàn ánh nữa.

Bài này không thiếu đề đâu,chỉ cho nhiêu đó giả thuyết :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 19-03-2013 - 12:04

Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.
 

Ta thấy $3f^n(x)-8f^{n-1}+4f^{n-2}=0$

Nó giống với dạng $u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}$

Sử dụng phương pháp sai phân: có phương trình đặc trưng là $3x^2-8x+4=0$ được hai nghiệm $x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$

Ta có $f^n(x)=k  \cdot 2^n+h \cdot (\frac{2}{3})^n$

Thay $k+h=x,2k+\frac{2}{3} h=f(x)$

Được công thức tổng quát :

$$f^n(x)=\left ( \frac{3}{4} \cdot f(x)-\frac{x}{2} \right )\cdot 2^n -\left ( \frac{3}{4}\cdot f(x)- \frac{3x}{2} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^n$$

Do $f^n(x)$ nguyên nên $3^{n-1}|f(x)-2x$ hay $f(x)=2x$

Thử lại thấy thỏa mãn :D

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=2x$


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#12 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 25-03-2013 - 19:57

Lời giải của bạn Idie9xx cho bài toán 2 là lời giải chuẩn rồi :)

 

Lời giải bài toán 3:

$f(x)$ là hàm tăng nên ta có thể xác định được 2 hàm dương tăng sao cho :

$$h(x) \ge f(x) \ge g(x):g(x) = \mathop {\lim }\limits_{z \to {x^ + }} f(z);h(x) = \mathop {\lim }\limits_{z \to {x^ - }} f(z)$$

 

$f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))) > f(x + y)$ ,vậy thì :

$$f(x + f(y)) + f(y + f(x)) < x + y$$

 

Cho $x,y \to 0^+$ thì tư BĐT trên chỉ ra rằng $f(x)$ có thể nhỏ tùy thích,do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty $.

 

$\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) = g(x)$

$\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(f(x) + f(y)) = 0$

 

Và như vậy $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} (f(x + y) + f(f(x) + f(y))) = g(x)$.

 

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0 + } f(x + f(y)) = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0 + } f(f(x) + y) = g(f(x))$

 

Và như vậy $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} (f(x + f(y)) + f(f(x) + y)) = g(f(x))$.

 

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(f(x + f(y)) + f(f(x) + y))$ tồn tại (do VT có giới hạn) và do đó $ \in \{ g(g(f(x))),h(g(f(x)))\} $.

 

Vậy $\forall x$: $g(x) = g(g(f(x))),$ hoặc $g(x) = h(g(f(x)))$ và từ $h(x) \ge g(x),\forall x$,ta thu được từ 2 trường hợp này $g(x) \ge g(g(f(x)))$.

 

Vậy $g(f(x)) \ge x,\forall x$ ;$f(f(x)) \ge x,\forall x$.

 

Thay $x \to f(x):f(f(f(x))) \ge f(x)$ và từ tính tăng của hàm số ta có $f(f(x)) \le x$.

 

Do đó $f(f(x)) = x,\forall x$,đpcm.

 

**********

Đề mới :

 

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2013 - 21:42

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 27-03-2013 - 15:49

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.

Bài 5: Nhận xét $x^{n+1}-1=(x-1) \cdot f(x)$ và $(x^{n+1})^k-1=(x^{n+1}-1)(\sum_{i=0}^{k-1} (x^{n+1})^i)$

Biến đổi $$g(x)=f(x^{n+1})=\sum_{i=0}^{n} (x^{n+1})^i=\sum_{i=0}^{n}((x^{n+1})^i-1)+(n+1)$$

$$=(x^{n+1}-1)(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=0}^{j-1}(x^{n+1})^i))+(n+1)=f(x)\cdot (x-1)(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=0}^{j-1}(x^{n+1})^i))+(n+1)$$

Vậy phép chia $g(x)$ cho $f(x)$ dư $n+1$ :)

Bài 4 khó ghê :wacko:


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#14 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 31-03-2013 - 19:24

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.

Lời giải bài toán 4:

${x^2} + x + 1|g({x^2} + x + 1) \Rightarrow g(x) = x{g_1}(x)$

${x^2} - x + 1|f({x^2} - x + 1) \Rightarrow f(x) = x{f_1}(x)$

 

Như vậy ta có ${f_1}({x^2} - x + 1) = {g_1}({x^2} + x + 1)$.

 

Từ PT đầu tiên,thay $x \to  - 1 - x$ ta được:

 

$$\begin{array}{l}{f_1}({x^2} + 3x + 3) = {g_1}({x^2} + x + 1) = {f_1}({x^2} - x + 1)\\\Rightarrow {f_1}\left( {{{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right) = {f_1}\left( {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right)\end{array}$$
 
Đặt $h(x) = {f_1}\left( {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right)$ thì $h(x + 2) = h(x)$,vậy $h(x)$ là 1 hàm tuần hoàn chu kỳ 2.
 
Từ đó,ta có $f(x)=g(x)=xh(x)$ với $h(x)$ là hàm tuần hoàn chu kỳ 2.
 
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ giới hạn trong đa thức thì dễ dàng có $h(x)=const$,từ đó suy ra được $f(x)=g(x)=ax$,với $a$ là hằng số.
 
Lời giải bài toán 5:
Đặt ${z_k} = {e^{\frac{{2ki\pi }}{{n + 1}}}}$ với $k \in \{ 1,2, \ldots ,n\} $.
 
Ta có $z_k^{n + 1} = 1$ và $f({z_k}) = 0,\forall k \in \{ 1,2, \ldots ,n\} $.
 
Ta cũng có $g(x) = f(x)q(x) + r(x)$ với $\deg r(x)<n$.Vậy $g({z_k}) = f(z_k^{n + 1}) = f(1) = n + 1 = r({z_k})$ nên $r(x)$ là đa thức có $\deg r(x) \le n-1$ và nhận các giá trị bằng nhau với $n$ giá trị khác nhau,hay $r(x)$ là 1 hằng số.
 
Vậy $r(x) = n + 1$.
 
**********
Đề mới:
 
Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.
 
Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :
  1. $f(xy)=f(x)f(y)$.
  2. $f(x+1)=f(x)+1$.

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#15 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 02-04-2013 - 20:40

Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :

  1. $f(xy)=f(x)f(y)$.
  2. $f(x+1)=f(x)+1$.

Cho $x=0$ có $f(0)=0$ (thoả) hoặc $f(x)=1$ (mâu thuẫn với $(2)$).

Từ $(2)$ chứng minh theo qui nạp được $f(x+k)=f(x)+k, \forall k \in \mathbb{Z}$ thay $x=0$ thì $f(x)=x,\forall x \in \mathbb{Z}$

Từ $(1)$ thì $f(p)=f(q)f(\frac{p}{q}) \Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}$ với $\forall p,q \in \mathbb{Z}$ chứng minh được $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{Q}$

Có $f(x+y)=f(\frac{x}{y}+1)f(y)=(f(\frac{x}{y})+1)f(y)=f(x)+f(y)$ ( Hàm cộng tính ) :D

 Ta có $f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(-1)f(-y)=f(x)-f(y)$

và $f(x^2)=(f(x))^2 \geq 0$ ( $x>0$ thì $f(x)>0$ )

Nên $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ ( Hàm đơn điệu )

Vậy hàm thỏa là $f(x)=x$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 05-04-2013 - 14:05

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#16 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 03-04-2013 - 15:19

Đề mới:
 
Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.

-Với $m>4$ ta có:

$$(f(m))^2( f(m+2) f(m-2))=(f(m)f(m-2))(f(m)f(m+2))=f((m-1)^2)f((m+1)^2)$$

$$=(f(m+2)f(m-4))(f(m-2)f(m+4))=(f(m+2)f(m-2))(f(m+4)f(m-4))=(f(m+2)f(m-2))f(m^2)$$

$$\Rightarrow f(m^2)=(f(m))^2=f(m+1)f(m-1)$$

-Giả sử $f(m-1)<f(m) \Rightarrow f(m)<f(m+1)$

$f(m-1)=f(m) \Rightarrow f(m)=f(m+1)$

$f(m-1)>f(m) \Rightarrow f(m)>f(m+1)$ mà $f(m^2)=(f(m))^2$ ( vô lí )

Vậy $f$ đồng biến hoặc là hàm hằng trên khoảng $[5; + \infty)$ :D

-Với $f$ là hàm hằng:

Có $(f(m))^2=f(m^2) \Rightarrow (f(m))^2=f(m) \Rightarrow f(m)=1$

-Với $f$ đồng biến:

Có $f(1)f(5)=f(2)f(4)=f(2)(f(1)f(3)) \Rightarrow f(5)=f(2)f(3)$

 $\Rightarrow f(6)f(2)=f(5)f(3)=f(2)(f(3))^2 \Rightarrow f(6)=(f(3))^2$

$\Rightarrow f(4)(f(3))^2=f(4)f(6)=f(25)=(f(5))^2=(f(2))^2(f(3))^2  \Rightarrow f(4)=(f(2))^2$

$\Rightarrow (f(3))^4=(f(6))^2=f(36)=f(3)f(9) \Rightarrow f(9)=(f(3))^3$

$\Rightarrow (f(2))^3=f(4)f(2)=f(9)=(f(3))^3 \Rightarrow f(2)=f(3)$

$\Rightarrow f(4)=f(6) \Rightarrow f(5)=f(6)$ ( vô lí ) :D

Vậy hàm thỏa là $f(x)=1$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 03-04-2013 - 15:33

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 07-04-2013 - 17:46

 

 

Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.

 
Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :
  1.  
  2. $f(xy)=f(x)f(y) \quad (1)$.
  3.  
  4. $f(x+1)=f(x)+1 \quad (2)$.
  5.  

Spoiler

Lời giải bài toán 6:

$f(n)f(n + 4) = f({(n + 2)^2}) = f(n + 1)f(n + 3) \Rightarrow \frac{{f(n + 4)}}{{f(n + 3)}} = \frac{{f(n + 1)}}{{f(n)}}$

 

Như vậy tồn tại $u,a,b,c$ sao cho :

 

$$\begin{array}{l}f(3p + 1) = u{a^p}{b^p}{c^p}\\f(3p + 2) = u{a^{p + 1}}{b^p}{c^p}\\f(3p + 3) = u{a^{p + 1}}{b^{p + 1}}{c^p}\end{array}$$
 
Thì ta có :

$\begin{array}{l}f(1)f(3) = f(4) \Rightarrow uuab = uabc \Rightarrow u = c\\f(1)f(5) = f(9) \Rightarrow uu{a^2}bc = u{a^3}{b^3}{c^2} \Rightarrow u = a{b^2}c\\f(1)f(7) = f(16) \Rightarrow uu{a^2}{b^2}{c^2} = u{a^5}{b^5}{c^5} \Rightarrow u = {a^3}{b^3}{c^3}\\f(1)f(9) = f(25) \Rightarrow uu{a^3}{b^3}{c^2} = u{a^8}{b^8}{c^8} \Rightarrow u = {a^5}{b^5}{c^6}\end{array}$
 
Vậy $a = b = c = u = 1$ và $f(n) = 1,\forall n.$
 
Lời giải bài toán 7:
Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow f(0) = 0$ hay $f(x) = 1$,$\forall x \ne 0.$. Kết hợp với $\left( 2 \right) \Rightarrow f(0) = 0.$
 
$\left( 2 \right) \Rightarrow f(n) = n,\forall n \in \mathbb{Z}$ và $\left( 1 \right) \Rightarrow f(x) = x,\forall x \in \mathbb{Q}$
 
$\left( 1 \right) \Rightarrow f(x) \ge 0,\forall x \ge 0$ và $f(x) \le 0,\forall x \le 0$.
 
$\left( 2 \right) \Rightarrow f(x) \ge 1,\forall x \ge 1$ và từ $(1)$ suy ra $f(x)$ là hàm không giảm.
 
Vì $f(x) = x,\forall x \in \mathbb{Q}$ và $f(x)$ là hàm không giảm nên suy ra $f(x) = x,\forall x \in \mathbb{R}$.
 
**********
Đề mới:
 
Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.
 
Bài toán 9: Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(f^\circ f)(x) = \frac{{{x^9}}}{{({x^2} + 1)({x^6} + {x^4} + 2{x^2} + 1)}} \quad \forall x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists !a \in \mathbb{R}$ để $f(a)=a$.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2013 - 21:51
Chèn link !

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 07-04-2013 - 18:37

**********
Đề mới:
 
Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.
 
Bài toán 9: Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(f^\circ f)(x) = \frac{{{x^9}}}{{({x^2} + 1)({x^6} + {x^4} + 2{x^2} + 1)}} \quad \forall x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists !a \in \mathbb{R}$ để $f(a)=a$.

Xơi bài 8 trước :)

Cho $x=y=0$ được $f(0)=f(f(0))$

Cho $y=0$ được $f(f(x)-f(0))=f(f(x))$

Cho $y=f(0)$ được $f(f(x)-f(0))=f(f(x))+f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Cho $x=0$ được $f(-f(y))=-y$

Cho $x=y$ được $f(f(y))=y$

Ta có $f(f(x)-f(y))=x-y$

Thay $x,y$ bằng $f(x),f(-y)$ có $f(x+y)=f(x)-f(-y)$

Thay $x,y$ bằng $f(x),-f(y)$ có $f(x+y)=f(x)+f(y)$

$\Rightarrow f(y)=-f(-y)$

Vậy $f$ là hàm lẻ (dpcm) >:)

----------------

Giải nốt bài 9 :D

Biến đổi $(f^\circ f)(x) = \frac{x^9}{(x^2 + 1)(x^6 + x^4 + 2x^2 + 1)}=\frac{(x^3)^3}{(x^2 + 1)((x^3)^2 + (x^2+1)^2)}$

$=\frac{\left (\dfrac{x^3}{x^2 + 1}  \right )^3}{\left (\dfrac{x^3}{x^2 + 1}  \right )^2+1}$ ( do $x^2+1>0$)

Cho $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2 + 1} \Rightarrow (g^\circ g)(x))=(f^\circ f)(x)$

Cho $g(x)=x \cdot h(x)$ dễ thấy $1 > h(x) \geq 0 $

Xét phương trình $(g^\circ g)(x)=(f^\circ f)(x)=x$

Ta có $(g^\circ g)(x)=x \cdot h(x) \cdot h(g(x))=x \Rightarrow x=0$ ( do $h(x) \cdot h(g(x))<1$)

Nên phương trình $(f^\circ f)(x)=x$ có duy nhất một nghiệm $(*)$ >:)

Xét $(f^\circ f)(0)=0 \Rightarrow (f^\circ f)(f(0))=f((f^\circ f)(0))=f(0)$ do $(*)$ nên $f(0)=0$

Giả sử tồn tại $b \neq 0$ sao cho $f(b)=b \Rightarrow (f^\circ f)(b)=f(b)=b$ ( mâu thuẫn với $(*)$)

Vậy tồn tại duy nhất $a=0$ để $f(a)=a$ (dpcm) :D

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 08-04-2013 - 19:12

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#19 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 13-04-2013 - 21:05



 

Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.


 
 

Lời giải bài toán 8: 

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y$ với mọi số thực $x,y$.

 

$P(x,x) \Rightarrow f(f(x)) = x = f(0)$,vậy $f(x)$ là 1 song ánh.

$P(0,0) \Rightarrow f(f(0)) = f(0)$ và từ tính chất song ánh của hàm $f(x)$ suy ra $f(0)=0$.

 

 

Vậy $f(f(x))=x$ và $P(0;f(x))$ cho ta $f(-x)=-f(x)$.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Tìm tất cả các hàm thực thỏa mãn $(x + y)[f(x) - f(y)] = (x - y)f(x + y)$

 

Bài toán 11: Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho:

$$f(x + y) = f(x) + f(y) - af(x)f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}.$$

 

 

Trong đó $a$ là hằng số.

 

 

@NLT:

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 13-04-2013 - 22:58

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#20 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 14-04-2013 - 10:06

Bài toán 10: Tìm tất cả các hàm thực thỏa mãn $(x + y)[f(x) - f(y)] = (x - y)f(x + y)$

 

Bài toán 11: Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho:

$$f(x + y) = f(x) + f(y) - af(x)f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}.$$

 

 

Trong đó $a$ là hằng số.

 

 

@NLT:

Spoiler

Spoiler

Spoiler

-------------------

Bài 10: Bài này có trên VMF rồi :) http://diendantoanho...-xyfx-fyx-yfxy/ và khi đặt $f(x)=x \cdot g(x)$ ta có dạng nữa http://diendantoanho...-xfx-yfyx-yfxy/

Spoiler

-------------------

Bài 11: Với $a=0$ ta được hàm tuyến tính kết hợp với liên tục tại 1 điểm quen thuộc được $f(x)=cx$

Với $a \neq 0$ đặt $g(x)=a \cdot f(x)$

Ta có $g(x+y)=g(x)+g(y)-g(x)g(y) \Leftrightarrow g(x+y)-1=-1+g(x)+g(y)-g(x) \cdot g(y)$

$\Leftrightarrow 1-g(x+y)=(1-g(x))(1-g(y))$

Đặt $h(x)=1-g(x)$ có $h(x+y)=h(x) \cdot h(y)$ là 1 hàm quen thuộc kết hợp với tính liên tục tại 1 điểm có $h(x)=0$ hoặc $h(x)=k^x,k >0$

Nên $f(x)=\dfrac{1}{a}$ hoặc $f(x)=\dfrac{1-k^x}{a}$

Vậy với $a=0$ thì $f(x)=cx$ thỏa, với $a \neq 0$ thì $f(x)=\dfrac{1}{a}$ và $f(x)=\dfrac{1-k^x}{a}$ thỏa >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 14-04-2013 - 21:02

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh