Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

tuyển tập sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 77 trả lời

#61 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 09-07-2013 - 13:17

Bài 45: Cho hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f(x)\not\equiv 0$. $CMR:g(x)\geq -1$

 

Bài 46: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 47: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:$f(x)=f\left (x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9} \right),\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 45 mình chép thiếu đề nên mình để thêm 3 ngày nữa :P  còn bài 46 cho thêm điều kiện liên tục nữa là dùng được hàm Cauchy :))

Lời giải bài 46 bên $ML$ (bởi pco):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $u=-\dfrac{f(0)}{2}$

$P(0,u)\Rightarrow f(f(u))=0$ và $P(0,f(u))\Rightarrow f(u)=0\Rightarrow f(0)=0$

$P(0.x)\Rightarrow f(f(x))=2x\Rightarrow f(2x)=f(f(f(x)))=2f(x)$

$P(x,f(\frac{y}{2}))\Rightarrow f(x+y)=f(x)+2f(\frac{y}{2})=f(x)+f(y)$

Vậy $f$ cộng tính kết hợp với điều kiện liên tục nên $f(x)=a x$

Thử lại tìm được $a=\pm \sqrt{2}\Rightarrow \boxed{f(x)=\pm x\sqrt{2}}$

 

Bài này khá quen thuộc, ta giải bằng cách xây dựng dãy số.

Do $f(x)=f(-x-\frac{1}{3})$ nên ta chỉ cần xét $x \geq \frac {-1}{6}$

. . .

Tương tự với $ x \in (\frac {1}{3},+\infty)$ ta cũng xây dựng được dãy số và chứng minh được $f(x)=f(\frac{1}{3}), \forall x \in (\frac {1}{3},+\infty)$

Cần chỉ ra rằng $f(x)=f(x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9})=f((-x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}(-x-\frac{1}{3})+\frac{1}{9})=f(-x-\frac{1}{3})$

Với $x\in (\frac{1}{3},+\infty)$ xây dựng dãy như sau

$x_0=x$ và $x_{n+1}$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình $x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=x_n$ (ẩn $x$)

 

-----------------------

Đề mới:

 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa: $f(x)>(x-y)(f(y))^2,\forall x,y\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Bài 50: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 09-07-2013 - 13:23

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#62 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 09-07-2013 - 13:43


 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Cho $x=y=0$ được $f(0)=0$

Cho $y=-1$ được $f(x)=-f(-x)$

Cho $y=\frac{1}{2x}$ được $f(x+1)=f(x)+2f(\frac{1}{2})$

Cho $x=1,y=\frac{-1}{2}$ được $f(1)=2f(\frac{1}{2})$

Suy ra $f(x+1)=f(x)+f(1)$

Vay $f(1992)=\frac{1992a}{1991}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 09-07-2013 - 15:51


#63 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 16-07-2013 - 13:01

Bài 45: Cho hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f(x)\not\equiv 0$. $CMR:g(x)\geq -1$

Lời giải của pco:

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$

Do $f(x)\not\equiv 0$ nên $\exists u$ sao cho $f(u)\neq 0$

$1)$ Nếu $f(0)\neq 0\Rightarrow g(x)\geq -1$

$(a): P(u,x)\Rightarrow f(u+x)+f(u-x)=2f(u)g(x)$

$(b): P(u,-x)\Rightarrow f(u-x)+f(u+x)=2f(u)g(-x)$

$(a)-(b)\Rightarrow g(x)=g(-x)$

$( c ): P(0,x)\Rightarrow f(x)+f(-x)=2f(0)g(x)$

$(d): P(0,2x)\Rightarrow f(2x)+f(-2x)=2f(0)g(2x)$

$(e): P(x,-x)\Rightarrow f(0)+f(2x)=2f(x)g(-x)=2f(x)g(x)$

$(f): P(-x,x)\Rightarrow f(-2x)+f(0)=2f(-x)g(x)$

$2g(x)\cdot ( c )-(d)+(e)+(f):2f(0)=4f(0)(g(x))^2-2f(0)g(2x)$

$\Rightarrow g(2x)=-1+2(g(x))^2\geq -1(DPCM)$

 

$2)$ Nếu $f(0)=0\Rightarrow g(x)\geq -1$

-Với $f(x)\neq 0$

$(a): P(x,x)\Rightarrow f(2x)=2f(x)g(x)$

$(b): P(0,x)\Rightarrow f(x)+f(-x)=0$

$( c ): P(2x,x)\Rightarrow f(3x)+f(x)=2f(2x)g(x)$

$(d): P(x,2x)\Rightarrow f(3x)+f(-x)=2f(x)g(2x)$

$2g(x)\cdot (a)+(b)+( c )-(d):2f(x)=-2f(x)g(2x)+4f(x)(g(x))^2\Rightarrow f(x)(g(2x)+1-(g(x))^2)=0$

Do $f(x)\neq 0\Rightarrow g(2x)=-1+(g(x))^2\geq -1(DPCM)$

-Với $f(x)=0$

$P(x,x)\Rightarrow f(2x)=0$

$(a): P(u,2x)\Rightarrow f(u+2x)+f(u-2x)=2f(u)g(2x)$

$(b): P(2x,u)\Rightarrow f(2x+u)+f(2x-u)=0$

$( c ): P(0,2x-u)\Rightarrow f(2x-u)+f(u-2x)=0$

$(a)+(b)-( c ):f(u+2x)=f(u)g(2x)$

$\Rightarrow f(u+4x)=f(u+2x)g(2x)=f(u)(g(2x))^2,(*)$

$P(u+2x;2x)\Rightarrow f(u+4x)+f(u)=2f(u+2x)g(2x)=2f(u)(g(2x))^2\Rightarrow f(u+4x)=f(u)((g(2x))^2-1)=0,(**)$

So sánh giữa $(*)$ và $(**)$ ta có $f(u)((g(2x)^2-1)=0\Rightarrow (g(2x))^2=1\Rightarrow g(2x)\geq -1(DPCM)$

 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa: $f(x)>(x-y)(f(y))^2,\forall x,y\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.

 

Bài 50: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 48: (bởi pco):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x)>(x-y)(f(y))^2$

Đặt $a=1+\dfrac{1}{(f(1))^2}: P(a,1)\Rightarrow f(a)>1$

Cho dãy tăng $a_n$ thỏa $a_0=a$ và $a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{f(a_n)}$

$P(a_{n+1},a_n)\Rightarrow f(a_{n+1})>2f(a_n\Rightarrow f(a_n)>2^n$ và sử dụng qui nạp chứng minh được $a_n<a+4$

$P(a+5,a_n)\Rightarrow f(a+5)>(a+5-a_n)(f(a_n))^2>2^{2n},\forall n\in \mathbb{N}$ (vô lí).

Vậy không có hàm nào thỏa đề.

 

Bài 50: (bởi Batominovski):

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y$

Đặt $s=f(0),a=s^2+s$

$P(0,0)\Rightarrow f(a)=0$

$P(a,a)\Rightarrow s=f(0)=a=s^2+s\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\Rightarrow f((f(x))^2)=xf(x)$

$P(0,x)\Rightarrow f(f(x))=x$. Vậy $f$ song ánh.

$P(f(x),0)\Rightarrow f(x^2)=f(x)f(f(x))=xf(x)=f((f(x))^2)$

$\Rightarrow (f(x))^2=x^2\Rightarrow f(x)=\pm x$

Ta thấy $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$ thỏa.

Nếu tồn tại $u\neq 0,v\neq 0$ mà $f(u)=-u,f(v)=v$ thì

$P(u,v)\Rightarrow \pm (u^2+v)=f((f(u))^2+f(v))=uf(u)+v=-u^2+v$ (vô lí)

Do đó chỉ còn hai hàm $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$.

Vậy các hàm thỏa đề là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ :))

-----------------------------------

Đề mới:

 

Bài 51: Cho hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(3x)\geq f(\frac{1}{2}f(2x))+2x,\forall x\in \mathbb{R^+}$. $CMR:f(x)\geq x,\forall x\in \mathbb{R^+}$

 

Bài 52: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y)+1,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 53: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)-f(x-y)=4 \sqrt{f(x)f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 28-07-2013 - 10:49

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#64 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 17-07-2013 - 17:25

 

 

Bài 53: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)-f(x-y)=4 \sqrt{f(x)f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

 

Bài này dư dữ kiện liên tục .

 

Ta có $f(0)=0$ .

 

Chọn $x=0$ ta có $f$ lẻ .

 

Thay $y$ bởi $-y$ và kết hợp đề bài ta có : $f(x+y)=f(x-y)$ => $f(x)=0$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#65 zorrono1

zorrono1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 23-07-2013 - 12:16

Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
 

Liệu mình có nhìn nhầm không khi $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$

$<=> 1>0 $ thfi có điều gì vô lý bạn?



#66 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 23-07-2013 - 16:10

Liệu mình có nhìn nhầm không khi $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$

$<=> 1>0 $ thfi có điều gì vô lý bạn?

$n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T\Rightarrow n+T+1>f(m)>n+T$

Vì $n+T$ và $n+T+1$ là hai số tự nhiên liền kề nhau thì không thể tồn tại $f(m)\in \mathbb{N}$ xen giữa 2 số đó được :)


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#67 NS 10a1

NS 10a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 24-05-2014 - 09:55

Ta sẽ chứng minh $f(n+1)-f(n)=1$
Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
Ta có $f(n+k)=f(n+k-1)+1=...=f(n)+k$
Với $n=0$ thì $f(f(0))=T$
Cho $f(0)=t$ được $f(t)=T$
Ta có $f(t)-f(0)=T-t=t \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}$
Mà $f(x)=x+f(0)$ nên hàm cần tìm là $f(x)=x+\dfrac{T}{2}$ :biggrin:

$f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí)  Cho e hỏi tại sao chỗ này lại vô lí ạ. E k học PT hàm nhiều nên k biết mấy cái này



#68 JokerLegend

JokerLegend

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1-K55-Chuyên Biên Hòa Hà Nam
  • Sở thích:Dota

Đã gửi 24-05-2014 - 15:16

$f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí)  Cho e hỏi tại sao chỗ này lại vô lí ạ. E k học PT hàm nhiều nên k biết mấy cái này

Cái này là nguyên lí kẹp hay định lí kẹp ấy...


               Thấy đúng like nha.Lịch sự đi


#69 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 05-07-2014 - 15:32

 

Bài 52: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y)+1,\forall x,y\in \mathbb{R}$   (1) 

 

Đặt $g(x)=f(x)-1$ khi đó từ $(1)$ ta có:

$g(x+y)+g(xy)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)$ $\forall x\in R$           $(2)$

Từ $(1)$ cho $y=-1$ ta được:

$f(x+1)=f(1)f(x)+f(1)$

Từ đây ta dễ dàng tính được $f(1)={-1,0,1}$

Áp dụng (2)

Nếu $(1)=0$ suy ra $f(x)=0$ thử lại thấy thỏa

Nếu $f(1)=-1$ dễ thấy không tồn tại

Nếu $f(1)=1$ ta chứng minh được $f$ là hàm lẻ

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ ta được

$f(x+y)-f(xy)=f(x)-f(y)-f(x)f(y)$                                                   $3$

Cộng $(1)$ và $(4)$ ta thu được

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$                $(4)$

Từ (1) cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0$.Từ (3) cho $y=x$

        $f(2x)=2f(x)

Từ (3) đặt $u=x+y,v=x-y$ ta thu được

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Suy ra $f(xy)=f(x)f(y)$

Suy ra $f(x)=0,f(x)=x$ $\forall x\in R$


:lol:Thuận :lol:

#70 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 15-08-2014 - 22:48

Mình ủng hộ ý kiến bạn Nam .Mình xin góp vui 1 bài.

 

 

 

Đặt $P(x,y)$ có tính chất $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

 

$P(0,0)=>f(f(0))=0$

 

$P(0,x)=>f(x+f(0))=f(x)+1$

 

$P(x,f(0))=>f(f(x)+f(0))=f(x+f(0))+xf(f(0))-xf(0)-x+1$

 

=> $f(f(x)+f(0))=f(x)+1+xf(0)+x-xf(0)-x+1=f(x)+2$

 

=> $f(x)=x+2-f(0)$

 

Thay vào ta được $f(0)=1$

 

Thử lại $f(x)=x+1$ thoả .

 

Vậy $f(x)=x+1, \forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải này chưa đúng do $f(x)$ chưa toàn ánh.



#71 trang331

trang331

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2014 - 19:06

io


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang331: 21-10-2014 - 23:38


#72 Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-12-2014 - 23:48

 nếu đề bài 34 tại đây thì giải ntn



#73 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 05-12-2014 - 09:15

Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục ( $f:R\rightarrow R$ ) thỏa : 

                            $f(x).y+f(y).x=(x+y).f(x).f(y)$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#74 Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-12-2014 - 16:37

tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

f$f\left ( xf(y) \right )+y+f(x)=f(x+f(y))+ yf(x) \forall x,y\in \mathbb{R}$ 



#75 duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2015 - 21:29

Bài 47 là đề VNTST 2007

Bài 46: 

 

Cho x = 0 ta được : $f(f(y))=2y+f(0)$

Do đó f là song ánh Cho tiếp y = 0 ta được ngay $f(0)=0$

Do đó $f(x+f(y))=f(x)+2y=f(x)+f(f(y))$ suy ra ngay f là hàm cộng tính ( Do f toàn ánh ) 

 

Mà f liên tục nên $f(x)=kx$

Thử lại được $k=\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 18-08-2015 - 21:43

          

 

 

 


#76 xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 22-10-2015 - 21:52

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :

  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

 

Em hỏi bài này tương tự thì làm ntn anh?

 

Tìm tất cả các hàm: $f:$ N* $\to$ N* thỏa mãn:

1.  $f(f(f(n))) = n + 2013$

2. $f(n + 1) > f(n)$



#77 hiennguyen1227

hiennguyen1227

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2019 - 11:57

Làm hộ e bài này vs https://diendantoanh...ffxfyfyfx∀xy∈r/

#78 hiennguyen1227

hiennguyen1227

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2019 - 11:58

Tìm f: R→R giảm trên R và thỏa mãn f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y))+f(y+f(x))),∀x,y∈R

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hiennguyen1227: 27-10-2019 - 12:00






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh