Bài 45: Cho hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f(x)\not\equiv 0$. $CMR:g(x)\geq -1$
Bài 46: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài 47: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:$f(x)=f\left (x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9} \right),\forall x\in \mathbb{R}$
Bài 45 mình chép thiếu đề nên mình để thêm 3 ngày nữa còn bài 46 cho thêm điều kiện liên tục nữa là dùng được hàm Cauchy
Lời giải bài 46 bên $ML$ (bởi pco):
Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+f(y))=2y+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $u=-\dfrac{f(0)}{2}$
$P(0,u)\Rightarrow f(f(u))=0$ và $P(0,f(u))\Rightarrow f(u)=0\Rightarrow f(0)=0$
$P(0.x)\Rightarrow f(f(x))=2x\Rightarrow f(2x)=f(f(f(x)))=2f(x)$
$P(x,f(\frac{y}{2}))\Rightarrow f(x+y)=f(x)+2f(\frac{y}{2})=f(x)+f(y)$
Vậy $f$ cộng tính kết hợp với điều kiện liên tục nên $f(x)=a x$
Thử lại tìm được $a=\pm \sqrt{2}\Rightarrow \boxed{f(x)=\pm x\sqrt{2}}$
Bài này khá quen thuộc, ta giải bằng cách xây dựng dãy số.
Do $f(x)=f(-x-\frac{1}{3})$ nên ta chỉ cần xét $x \geq \frac {-1}{6}$
. . .
Tương tự với $ x \in (\frac {1}{3},+\infty)$ ta cũng xây dựng được dãy số và chứng minh được $f(x)=f(\frac{1}{3}), \forall x \in (\frac {1}{3},+\infty)$
Cần chỉ ra rằng $f(x)=f(x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9})=f((-x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}(-x-\frac{1}{3})+\frac{1}{9})=f(-x-\frac{1}{3})$
Với $x\in (\frac{1}{3},+\infty)$ xây dựng dãy như sau
$x_0=x$ và $x_{n+1}$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình $x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=x_n$ (ẩn $x$)
-----------------------
Đề mới:
Bài 48: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa: $f(x)>(x-y)(f(y))^2,\forall x,y\in \mathbb{R^+}$
Bài 49: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$.
Cho $f(1991)=a$. Tính $f(1992)$.
Bài 50: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f((f(x))^2+f(y))=xf(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 09-07-2013 - 13:23