Bài toán 26: Với mỗi $i \in \{1;2;...;n \}(n \in \mathbb{N})$,giả sử ta có số phức $z_{i}$ thỏa $|z_{i}|=1$. Cho $\sum_{i=1}^{n}z_{i}=0$. Nếu $z \in \mathbb{C}$,chứng minh rằng $ n\leq\sum_{i = 1}^{n}\left|z-z_{i}\right| $
Bài toán 27: Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$,ta có BĐT $\sum_{k=1}^{n^2}\left\{\sqrt{k}\right\}\le\frac{n^2-1}{2}. $
-127-
Lời giải bài toán 26:
Nếu $z=0$ thì $ \sum |z-z_i| =\sum |z_i| = n $.
Nếu $z \ne 0$ thì đặt $t=\frac{1}{z}$.Để ý rằng $ z_i =\frac{1}{\overline{z_i}} $ và $|\overline{z_{i}}|=1$,do $|z_{i}|=1$.Do đó:
$ \sum |z-z_i| =\sum\left |\frac{1}{t}-\frac{1}{\overline{z_i}}\right | =\sum\left |\frac{t-\overline{z_i}}{t\overline{z_i}}\right | =\frac{1}{|t|}\sum |t-\overline{z_i}|\geq\frac{1}{|t|}|\sum (t-\overline{z_i})| =\frac{1}{|t|}|nt-\overline{\sum z_i}| =\frac{1}{|t|}n|t| = n $
Lời giải bài toán 27:
Ta chứng minh BĐT bằng quy nạp.Thật vậy,ta chỉ cần chứng minh bước quy nạp sau:
\[ \sum_{k = n^2+1}^{(n+1)^2}\left\{\sqrt{k} \right\} \le\frac{2n+1}{2} \]
Ta sẽ chứng minh nó bằng cách chỉ ra rằng :
\[ \left\{\sqrt{n^2+i}\right\}+\left\{\sqrt{(n+1)^2-i}\right\}\le\frac{2n+1}{2n} \]
Lúc này,ta có do $ \lfloor\sqrt{n^2+i}\rfloor =\lfloor\sqrt{(n+1)^2-i}\rfloor = n $ nên BĐT trên tương đương:
\[ \sqrt{n^2+i}+\sqrt{(n+1)^2-i}\le\frac{4n^2+2n+1}{2n} \]
Bằng tính chất hàm lõm:
\[ \sqrt{n^2+i}+\sqrt{(n+1)^2-i}\le 2\sqrt{\frac{n^2+(n+1)^2}{2}}= 2\sqrt{\frac{2n^2+2n+1}{2}} \]
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\[ 2\sqrt{\frac{2n^2+2n+1}{2}}\le\frac{4n^2+2n+1}{2n} \]
\[ 8n^2(2n^2+2n+1)\le (4n^2+2n+1)^2 \]
\[ 0\le (2n+1)^2 \]
Vậy ta có đpcm.
====================
Đề mới:
Bài toán 29: Trong $2013$ số thực cho sẵn bất kỳ,chứng minh rằng sẽ có ít nhất 1 cặp số $(a;b)$ thỏa mãn BĐT $\frac{|1-ab||a-b|}{(a^2+1)(b^2+1)}<\frac{1}{2012}$.
Bài toán 30: Cho $2n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ thỏa mãn $1 \ge b_1 \ge b_2 \ge ...\ge b_n \ge 0$.Chứng minh rằng tồn tại 1 số tự nhiên $k \le n$ sao cho $ |a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|\le |a_1+a_2+...+a_k| $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-06-2013 - 13:12
Thậm chí không cần dùng đến giả thiết 3 cạnh tam giác
