Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đa thức -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-03-2013 - 18:47

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau. Một lưu ý cho các bạn là các bài toán trong topic này hầu như chưa có lời giải,mong các bạn thông cảm.

Nào,chúng ta cùng bắt đầu với bài toán sau :

Bài toán 1: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $Q \in \mathbb{R}[x]$ để $Q(0)=0$ và $x + Q(y + P(x)) = y + Q(x + P(y)) \quad \forall x,y$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 11:07

Chúng ta tiếp tục tích trữ bài để giải nào :P

Bài toán 2: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(0) = 0$ và $\left\lfloor {P\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor } \right\rfloor + n = 4\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-03-2013 - 11:07

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-03-2013 - 21:17

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 23-03-2013 - 12:29

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$

Không biết làm kiểu này có đúng không :)
Cho $x=0 \Rightarrow P(0)=0$
Cho $x=1 \Rightarrow P(1)=2P(1) \Rightarrow P(1)=0$
Cho $x=-1 \Rightarrow P(1)=2P(-1) \Rightarrow P(-1)=0$
Khi ấy $P(x)=x(x^2-1)G(x)$
Ta có $G(x^2)=x^2G(x)$
Cho $x=0 \Rightarrow G(0)=0$
Được $P(x)=x^2(x^2-1)H(x)$
Ta có $H(x^2)=H(x)=const$
Mà $P(2)=2$ nên $P(x)=\dfrac{x^2(x^2-1)}{6}$
Thử lại thấy thỏa :D


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 25-03-2013 - 22:01


Bài toán 1: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $Q \in \mathbb{R}[x]$ để $Q(0)=0$ và $x + Q(y + P(x)) = y + Q(x + P(y)) \quad \forall x,y$.

Bài toán 1:
\[
x + Q\left( {y + P\left( x \right)} \right) = y + Q\left( {x + P\left( y \right)} \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
TH1: $P(x)=c$ với $c$ là hằng số thực. Khi đó, từ (1), ta có:
\[
x + Q\left( {y + c} \right) = y + Q\left( {x + c} \right),\forall x,y \in R,\left( 2 \right)
\]
Thay $y$ bởi $0$, (2) thành \[
\begin{array}{l}
 x + Q\left( c \right) = Q\left( {x + c} \right) \Rightarrow Q\left( x \right) = x - c + Q\left( c \right) \\
 Q\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow Q\left( c \right) = c \Rightarrow Q\left( x \right) = x,\forall x \in R \\
 \end{array}
\]
TH2: $\deg P(x) \ge 1$. Thay $y$ bởi $0$, (1) thành:\[
x + Q\left( {P\left( x \right)} \right) = Q\left( {x + P\left( 0 \right)} \right),\forall x \in R,\left( 3 \right)
\]
Dễ thấy $\deg Q \ge 1$. So sánh bậc 2 vế:\[
\begin{array}{l}
 \left. \begin{array}{l}
 \deg VT\left( 3 \right) = \max \left\{ {1,\deg P.\deg Q} \right\} \\
 \deg VP\left( 3 \right) = \deg Q \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow \deg P.\deg Q = \deg Q \\
  \Rightarrow \deg P = 1 \Rightarrow P\left( x \right) = ax + b,\left( {a \ne 0} \right) \\
 \end{array}
\]
Viết lại (1):
\[
x + Q\left( {y + ax + b} \right) = y + Q\left( {x + ay + b} \right),\forall x,y \in R,\left( 4 \right)
\]
Nếu $a=1$ thì từ (4), dễ thấy $x=y\,\forall x,y \in R$: vô lý nên $a \ne 1$.
Thay $y$ bởi $0$, từ (4), ta được:\[
x + Q\left( {ax + b} \right) = Q\left( {x + b} \right), (5)
\]
Đặt $Q\left( x \right) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  + ... + a_0 ,\left( {a_n  \ne 0} \right)$.
Nếu $n>1$, so sánh hạng tử bậc cao nhất trong (5), ta có: $a^na_n=a_n \Rightarrow a=1 \Rightarrow P(x)=x+b$.
(4) trở thành:\[
x + Q\left( {y + x + b} \right) = y + Q\left( {x + y + b} \right) \Rightarrow x = y,\forall x,y \in R
\]
Vô lý nên $\deg Q=1$. Mà $Q(0)=0 \Rightarrow Q(x)=kx,(k \ne 0)$. Thay vào (4), ta có:\[
\begin{array}{l}
 x + ky + akx + kb = y + kx + aky + kb \\
  \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {1 - k + ak} \right) = 0,\forall x,y \in R \\
  \Leftrightarrow 1 - k + ak = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{a - 1}} \\
 \end{array}
\]
Kết luận:\[
\left( {P\left( x \right);Q\left( x \right)} \right) = \left( {c;x} \right);\left( {ax + b;\frac{x}{{a - 1}}} \right),\left( {a \ne 1} \right)
\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2935 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-03-2013 - 22:52

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$


Ta có: $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$

$\deg P(x)=n; \deg P(x^2)=2n$

Do đó $2n=n+4 \Leftrightarrow n=4$

$P(0)=0$

$P(1)=0$

$P(-1)=0$

Và $P(x)=P(-x)$

Do đó $P(x)=ax^2(x-1)(x+1)=ax^2(x^2-1)\Rightarrow a=\frac{1}{6}$

Vậy đa thức cần tìm là $P(x)=\frac{1}{6}(x^4-x^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2013 - 22:55

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 31-03-2013 - 18:49

Nhiệt liệt hoan nghênh sự tham gia của Kiên ,Hân và Idie9xx :))

 

Ta tiếp tục với 2 bài toán mới :

 

Bài toán 4: Tìm tât cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ thỏa $P(x).P(x + 1) = P({x^2} + 2)\;\;\forall x \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{C}[x]$ thỏa $P({x^2}) = P(x).P(x + 1)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 18:50

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2935 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-03-2013 - 21:49

Nhiệt liệt hoan nghênh sự tham gia của Kiên ,Hân và Idie9xx :))

 

Ta tiếp tục với 2 bài toán mới :

 

Bài toán 4: Tìm tât cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ thỏa $P(x).P(x + 1) = P({x^2} + 2)\;\;\forall x \in \mathbb{R}$.

Bài này có ở đây.


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#9 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 07-04-2013 - 17:27

Đề mới :

 

Bài toán 6: Tìm tất cả các đa thức $P $ sao cho $P(x,y) = P(x + 1,y + 1)$.

 

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu $a,b$ là 2 nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-04-2013 - 21:49

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 13-04-2013 - 20:53

Đề mới:

 

Bài toán 8:  Với mỗi đa thức bậc hai $p(x)$,chứng minh rằng tồn tại các đa thức $q(x)$ và $r(x)$ sao cho $p(x)p(x+1)=q(r(x))$.

 

Bài toán 9: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(P(x))P({x^2} - 1) = P{(3x)^3} - P(x)$

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 14-04-2013 - 16:44

Đề mới :

 

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu $a,b$ là 2 nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.

Gọi $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ là các nghiệm đa thức $P(x)=x^{4}+x^{3}-1$

 

Khi đó theo định lí viet thì 

 

$\sum x_{i}=-1$

 

$\sum x_{i}x_{j}=0$

 

$\sum x_{i}x_{j}x_{k}=0$

 

$x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=-1$

 

Xét đa thức $Q(x)=(x-x_{1}x_{2})(x-x_{2}x_{3})(x-x_{1}x_{3})(x-x_{2}x_{4})(x-x_{1}x_{4})(x-x_{3}x_{4})$

 

Khai triển đa thức này và sử dụng các đẳng thức trên ta có ngay 

 

$Q(x)=x^{6}+x^{4}+x^{3}-x^{2}-1$.

 

Vậy nếu $a,b$ là các nghiệm đa thức $P(x)$ thì $ab$ là nghiệm đa thức $Q(x)$



#12 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 14-04-2013 - 16:56

Đề mới:

 

Bài toán 9: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(P(x))P({x^2} - 1) = P{(3x)^3} - P(x)$

Nếu $P(x)$ là hằng số :$P(x)=a$ suy ra $a^{2}=a^{3}-a$ 

 

$\Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

 

Nếu P khác hằng số 

 

Giả sử $n=degP(x)$

 

Khi đó từ đề bài ta có $n^{2}+2n=3n\Rightarrow n=1$ nên $P(x)=ax+b$

 

Thay vào và đồng nhất ta có $a=0$ nên loại.

 

Vậy $P(x)$=0 hoặc $P(x)=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$



#13 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-04-2013 - 21:26

Chúng ta còn các bài toán sau chưa giải quyết,mong các bạn lưu ý. :)

 

Bài toán 2: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(0) = 0$ và $\left\lfloor {P\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor } \right\rfloor + n = 4\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

 

Bài toán 5: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{C}[x]$ thỏa $P({x^2}) = P(x).P(x + 1)$.

 

Bài toán 6: Tìm tất cả các đa thức $P $ sao cho $P(x,y) = P(x + 1,y + 1)$.

 

Bài toán 8:  Với mỗi đa thức bậc hai $p(x)$,chứng minh rằng tồn tại các đa thức $q(x)$ và $r(x)$ sao cho $p(x)p(x+1)=q(r(x))$.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Xác định tất cả các đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho với mọi $|x|<1$ thì $P(x) = P\left( {\frac{{\sqrt {3 - 3{x^2}}  - x}}{2}} \right)$

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 21-04-2013 - 11:14

Chúng ta còn các bài toán sau chưa giải quyết,mong các bạn lưu ý. :)

 


 


 


 


 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Xác định tất cả các đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho với mọi $|x|<1$ thì $P(x) = P\left( {\frac{{\sqrt {3 - 3{x^2}}  - x}}{2}} \right)$

Ủng hộ topic của anh  dark templar :icon6:

 

Cho $x=0$ vào giả thiết ta có ngay $P(0)=P(\frac{\sqrt{3}}{2})$ 

 

Do đó $P(x)-P(0)\vdots x,P(x)-P(0)\vdots (x-\frac{\sqrt{3}}{2})$

 

Đa thức $P(x)-P(0)$ có ngiệm $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và có hệ số hữu tỉ nên cũng có nghiệm $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Vậy $P(x)-P(0)=x(x-\frac{\sqrt{3}}{2})(x+\frac{\sqrt{3}}{2}).P_{1}(x)$

 

$\Leftrightarrow P(x)=P(0)+(3x-4x^{3})P_{1}(x)$ với $P_{1}(x)\in Q[x]$  (1)

 

chú ý rằng $3(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})-4(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})^{3}=3x-4x^{3}$

 

Thay $x$ bởi $\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2}$ vào (1) ta có 

 

$P_{1}(x)=P_{1}(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})$ và deg$P_{1}$=deg$P$-3

 

Từ đó dẫn tới $P(x)=a_{0}+a_{1}(3x-4x^{3})+...+(3x-4x^{3})^{k}P_{k}(x)$ với $degP_{k}\leq 2$

 

Thay vào ta lại có $P_{k}(x)=P_{k}(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})$ nếu $P_{k}(x)$ khác hằng số thì ta lại có 

 

$P_{k}(x)-P_{k}(0)\vdots (3x-4x^{3})$ vô lí vì bậc của nó ko vượt quá 2.

 

Vậy $P(x)=\sum a_{i}(3x-4x^{3})^{i}$



#15 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-04-2013 - 13:21

Tạm thời mình đang tiếp tục tổng hợp và dịch đề nên có lẽ sẽ không có đề mới trong 1 thời gian.Các bạn hãy tiếp tục giải các bài toán cồn tồn đọng mà mình đã liệt kê ở post #13 nhé. :)


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 03-05-2013 - 20:11

Làm thử bài 6:

Ta xét bài toán tổng quát hơn: Với 2 số thực $a,b$ cho trước, tìm đa thức thực $P(x,y)$ thỏa

$$P(x+a,y+b)=P(x,y) \quad (1)$$

TH1: Nếu $b \ne 0$. Đặt $P\left( {x,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right)$\[
\begin{array}{l}
  \Rightarrow P\left( {x + a,y + b} \right) = R\left( {x + a - \frac{a}{b}\left( {y + b} \right),y + b} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y + b} \right) \\
  \Rightarrow R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y + b} \right) \\
 x: = x - \frac{a}{b}y \Rightarrow R\left( {x,y} \right) = R\left( {x,y + b} \right) = ... = R\left( {x,y + nb} \right),\forall n \in N \\
 \end{array}
\]
Đặt $Q_x \left( y \right) = R\left( {x,y} \right)$.

\[
 \Rightarrow Q_x \left( y \right) = Q_x \left( {y + b} \right) = Q_x \left( {y + 2b} \right) = ... = Q_x \left( {y + nb} \right),\forall n \in N
\]
$Q_x$ là 1 đa thức theo $y$. Chọn $n$ đủ lớn sao cho $n>\deg Q_x \Rightarrow Q_x(y) \equiv c \in R$.

Do đó, $R(x,y)$ là đa thức chỉ theo $x$, tức $R(x,y)=T(x)\,\forall x,y \in R$\[
 \Rightarrow P\left( {x,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right) = T\left( {x - \frac{a}{b}y} \right) = T\left( {bx - ay} \right)
\]
Do đó, $P(x,y)=T(bx-ay)$ với $T$ là 1 đa thức đơn biến bất kì.

TH2: $b=0$. Khi đó, giả thiết thành $P(x+a,y)=P(x,y)$. Lý luận tương tự TH1, ta cũng có $P(x,y)$ là đa thức đơn biến $y$.

Thử lại:...


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-05-2013 - 19:39

Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-06-2013 - 08:58
Chèn link !

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 29-05-2013 - 22:37



Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.

Theo định lý Vi-ét ta có

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0$

$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\sqrt{2}$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}+x_{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})=-5$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=3$

Hay là $3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{2}=8(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})$

$\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}+(x_{1}-x_{3})^{2}+(x_{1}-x_{4})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{4})^{2}=0$

$\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đó dễ dàng tính được (cũng bằng Vi-ét) $a_{3}=5\sqrt{2}, a_{4}=\frac{-15}{4}, a_{5}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 29-05-2013 - 22:44


#19 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 02-06-2013 - 09:38



Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.

Lời giải bài toán 11:

Đặt $P(x)=\left(x+2\sqrt{2} \right)Q(x)$,với $Q(x)=x^4-2\sqrt{2}x^3+3x^2+b_1x+b_0$ có 4 nghiệm thực,suy ra $Q'(x)$ sẽ có 3 nghiệm thực.

 

Lại có $Q''(x)=12\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \implies Q'(x)=4\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3+c$.

 

Nhưng do $Q'(x)$ chỉ có 3 nghiệm thực nên $c=0$,hay $Q'(x)=4\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 \implies Q(x)=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4+d$.

 

Lập luận tương tự cũng cho ta $d=0$,tức là $Q(x)=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4$.

 

Vậy $P(x)=\left(x+2\sqrt{2} \right)\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4$.

 

Khai triển ra ,ta sẽ tìm được kết quả $a_3;a_4;a_5$ như trên.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 12: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi PT $2P(x)P''(x)=\left(P'(x) \right)^2$ sẽ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Bài toán 13: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P\left(F(x) \right)=F\left(P(x) \right);P(0)=0$ với $F(x)$ là 1 đa thức cho trước thỏa mãn $F(x)>x \quad \forall x \ge 0$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#20 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-06-2013 - 11:20

Bài toán 12: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi PT $2P(x)P''(x)=\left(P'(x) \right)^2$ sẽ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Bài toán 13: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P\left(F(x) \right)=F\left(P(x) \right);P(0)=0$ với $F(x)$ là 1 đa thức cho trước thỏa mãn $F(x)>x \quad \forall x \ge 0$.

Lời giải bài toán 12: 

Câu trả lời là $2$ nghiệm.

 

PT $ p(x) = 4(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)(3ax+b)-(3ax^{2}+2bx+c)^{2} $ là 1 đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là số dương.

 

Do $ p'(x)=12a*(ax^{3}+bx^{2}+cx+d) $ có 3 nghiệm trùng với $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

 

Nên $p(x)<0$ tại các giá trị nghiệm trên.

 

1 đa thức bậc $n$ chẵn có tối đa $n-1$ cực trị phân biệt và mang giá trị âm thì sẽ có chính xác $2$ nghiệm,nằm lần lượt bên trái và bên phải của điểm cực trị.

 

Suy ra $p(x)$ có $2$ nghiệm phân biệt.

 

Lời giải bài toán 13:

Đặt $ M =\{x\in\mathbb{R}|P(x) = x\} $.$M$ là 1 tập không rỗng,giả sử là nó hữu hạn và $m=\max M$ thì:

$ P(F(m)) = F(P(m)) = F(m) $

 

Do đó $ m < F(m)\in M $,mâu thuẫn.

 

Suy ra $P(x)=x$ với các giá trị thực vô hạn của $x$,vậy thì $P(x)=x;\forall x$ do $P(x)$ là 1 đa thức.

 

==========

Đề mới:

 

Bài toán 14: Có tồn tại 1 dãy số thực và khác không $a_1;a_2;...;a_{n}$ thỏa với mỗi $n \in \mathbb{N}$ thì đa thức $ a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} $ có đúng $n$ nghiệm trên $\mathbb{R}$.

 

Bài toán 15: Tìm tất cả các nghiệm đa thức của PT hàm $ f(x)f(x+1)=f(x^2+x+1) $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-06-2013 - 11:22

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh