Bài toán 14: Có tồn tại 1 dãy số thực và khác không $a_1;a_2;...;a_{n}$ thỏa với mỗi $n \in \mathbb{N}$ thì đa thức $ a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} $ có đúng $n$ nghiệm trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 15: Tìm tất cả các nghiệm đa thức của PT hàm $ f(x)f(x+1)=f(x^2+x+1) $.
Lời giải bài toán 14: Câu trả lời là có tồn tại dãy số như vậy và ta xây dựng nó bằng quy nạp.
Chọn $a_0=-1$ và $a_1=1$ sao cho thỏa mãn tính chất trên với $n=1$.
Đặt $P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ với $n$ nghiệm phân biệt là $r_1<r_2<...<r_{n}$.
Chọn $x_0<r_1$.Cho $x_k \in (r_k;r_{k+1});\forall k \in [1;n-1]$ là giá trị mà $|P_{n}(x)|$ đạt giá trị lớn nhất. Cho $x_n>r_n$.
$P_{n}(x_k) \ne 0;\forall k \in [0;n]$ và ta có thể chọn $a>0$ sao cho $a|x_k|^{n+1}<|P_{n}(x_k)|;\forall k \in [0;n]$.
Nếu $P_n(x_n)>0$,đặt $a_{n+1}=-a$.
Nếu $P_n(x_n)<0$,đặt $a_{n+1}=a$
$a|x_k|^{n+1}<|P_n(x_k)|$ chứng tỏ rằng $P_{n+1}(x_k)=P_n(x_k)+a_{n+1}x^{n+1}$ luôn khác không và có cùng dấu với $P_n(x_k)$ và $ \lim_{x\to+\infty}P_{n+1}(x) $ có dấu khác với $P_{n+1}(x_n)$.Do đó:
$P_{n+1}(x)$ có 1 nghiệm thuộc $(x_k;x_{k+1});\forall k \in [0;n-1]$ và 1 nghiệm lớn hơn $x_n$.
Lời giải bài toán 15:
Thay $x$ bởi $0$,ta có $ f(0)f(1) = f(1) $.Do đó $f(1)=0$ hay $f(0)=1$.Nếu $f(1)=0$,thay $x$ bởi $1$ thì $f(3)=0$.Lặp lại liên tục như vậy,ta sẽ có $f(a_n)=0;\forall n$ với $a_0=1$ và $a_{n+1}=a_n^2+a_n+1>a_n$.Điều này có nghĩa là $f \equiv 0$.
Kể từ đây,ta giả sử $f(1) \ne 0$,suy ra $f(0)=1$.Nếu $f$ là đa thức hằng thì $f \equiv 1$.Bây giờ,giả sử $\deg f(x)>0$.Do đó $f(x)$ có 1 nghiệm lớn nhất là $\alpha$.Hay:
\[ f\left(\alpha^2-\alpha+1\right) = f(\alpha-1)f(\alpha) = 0 \]
Và:
\[ f\left(\alpha^2+\alpha+1\right) = f(\alpha)f(\alpha+1) = 0\,. \]
Suy ra $\alpha^2-\alpha+1$ và $\alpha^2+\alpha+1$ đều là nghiệm của $f(x)$.Tuy nhiên:
\[ \left|\alpha^2-\alpha+1\right|+\left|\alpha^2+\alpha+1\right|\geq\Big|\left(\alpha^2-\alpha+1\right)-\left(\alpha^2+\alpha+1\right)\Big| = 2|\alpha|\,. \]
$\alpha$ là nghiệm lớn nhất chứng tỏ rằng $ |\alpha| =\left|\alpha^2-\alpha+1\right| =\left|\alpha^2+\alpha+1\right| $ và $ \alpha^2-\alpha+1 =-\lambda\left(\alpha^2+\alpha+1\right) $ với $\lambda>0$.Do đó $\lambda=1$ và $\alpha=\pm i$.
Ta có 2 nhận xét sau:
\[ f(-\alpha)f(-\alpha-1) = f\left(\alpha^2+\alpha+1\right) = 0 \]
Và:
\[ f(-\alpha)f(-\alpha+1) = f\left(\alpha^2-\alpha+1\right) = 0\,. \]
Do cả $-\alpha-1$ và $-\alpha+1$ đều có độ lớn lớn hơn $\alpha= \pm i$.,nên ta suy ra được $f(-\alpha)=0$.Hay $\pm i$ đều là nghiệm của $f$.Từ đây ta có thể khẳng định:
\[ f(x) =\left(x^2+1\right)f_1(x)\,, \]
Với 1 đa thức $f_1(x)$ nào đó.Chúng ta thấy rằng $f_1(x)$ đều thỏa mãn PT hàm ở trên.Do đó nếu $f_1 \not \equiv 1$ thì:
\[ f_1(x) =\left(x^2+1\right)f_2(x)\,. \]
Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi $f_{k} \equiv 1$,tức là:
\[ \boxed{\displaystyle f(x) =\left(x^2+1\right)^k\,. }\]
====================
Đề mới:
Bài toán 16: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa $ xP(x-1)=(x-26)P(x) ;\forall x \in \mathbb{R}$
- Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x)$ thỏa $P(x^3+1)=P((x+1)^3)$
- Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x)$ thỏa $P(x^3+1)=P^3(x+1)$
-27-
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-06-2013 - 20:40