Đề thi học sinh giỏi môn toán tỉnh Thanh Hóa năm 2012-2013
#1
Đã gửi 15-03-2013 - 12:50
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị © sao cho khoảng cách từ điểm I(-2;2) đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
Câu II:
1. Giải phương trình: $\frac{{{{\sin }^3}x.\sin 3x + {{\cos }^3}x.\cos 3x}}{{\tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}} = - \frac{1}{8}$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 + {4^{2x - y}}} \right){5^{1 - 2x + y}} = 1 + {2^{2x - y + 1}} \\
\frac{{x - y}}{4} = \ln \left( {x + 3} \right) - \ln \left( {y + 3} \right) \\
\end{array} \right.(x,y \in R)$
Câu III:
1. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn $x + y + z = 3$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - xy}} \ge 2xyz\]
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - mx + 2 \le 0 \\
{4^x} - {3.2^{\sqrt x + x}} - {4^{\sqrt x + 1}} \le 0 \\
\end{array} \right.\]
Câu IV:
1. Cho khai triển ${\left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^{14}}} \right)^{15}} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{210}}{x^{210}}$. Chứng minh rằng:
\[C_{15}^0{a_{15}} - C_{15}^1{a_{14}} + C_{15}^2{a_{13}} - ... - C_{15}^{15}{a_0} = - 15\]
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm $G\left( {1;2} \right)$. Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu V:
1. Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và $\angle ABC = {30^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB' bằng $\frac{a}{2}$.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 1; - 2; - 3} \right)$, $B\left( { - 6;10; - 3} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 15 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 2.
- Ispectorgadget, Mai Duc Khai, Gioi han và 5 người khác yêu thích
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#2
Đã gửi 15-03-2013 - 16:51
Có ${\left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^{14}}} \right)^{15}}=(\frac{x^{15}-1}{x-1})^{15} $Câu IV:
1. Cho khai triển ${\left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^{14}}} \right)^{15}} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{210}}{x^{210}}$. Chứng minh rằng:
\[C_{15}^0{a_{15}} - C_{15}^1{a_{14}} + C_{15}^2{a_{13}} - ... - C_{15}^{15}{a_0} = - 15\]
$\Rightarrow (x^{15}-1)^{15}=(x-1)^{15}.(1+x+x^{2}+..+x^{14})^{15}$
$\Rightarrow (x^{15}-1)^{15}=(x-1)^{15}.(a_{0}+a_{1}x+..+a_{15}x^{15}+..+a_{210}x^{210})$
Xét hệ số chứa $x^{15}$ ở 2 vế $\Rightarrow dpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 15-03-2013 - 16:55
- khanh3570883, tarence tao 1995, yeutoan11 và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 15-03-2013 - 18:04
Câu II:
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 + {4^{2x - y}}} \right){5^{1 - 2x + y}} = 1 + {2^{2x - y + 1}} \\
\frac{{x - y}}{4} = \ln \left( {x + 3} \right) - \ln \left( {y + 3} \right) \\
\end{array} \right.(x,y \in R)$
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x>-3\\ y>-3 \end{matrix}\right.$
Xét phương trình $\frac{{x - y}}{4} = \ln \left( {x + 3} \right) - \ln \left( {y + 3} \right)$
$\Leftrightarrow \frac{x}{4}-\ln(x+3)=\frac{y}{4}-\ln(y+3)$
Xét $f(t)=\frac{1}{4}t-\ln(t+3)$ trên $(-3;+\infty )$
$\Rightarrow f'(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{t+3}$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$ (loại)
Vậy $f(t)$ đồng/nghịch biến trên $(3;+\infty )$
$\Rightarrow x=y$, thay vàp pt đầu của hệ, thành:
$( {1 + {4^{x}}} ){5^{1-x}} = 1 + {2^{x+1}}$
$\Leftrightarrow 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.(\frac{4}{5})^{x}-2.2^{x}-1=0$
Đặt $f(x)= 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.(\frac{4}{5})^{x}-2.2^{x}-1$ xét trên $(-3;+\infty )$
$\Rightarrow f'(x)=-5\ln 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.\ln\frac{4}{5}.(\frac{4}{5})^{x}-2\ln2.2^{x}<0$
Vậy $f(x)$ nghịch biến
Mà $f(1)=0$
Vậy hệ có nghiệm $x=y=1$
- khanh3570883, Mai Duc Khai, mai dsung và 1 người khác yêu thích
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#4
Đã gửi 15-03-2013 - 19:10
t<1 thì hàm nghịch, t > 1 thì hàm đồng, không đánh giá thế này được. Bài này mình xét phương trình đầu một vế đồng, một vế nghịch rồi chia ra hai khoảng để xét rồi mới làm như thế này.Vậy $f(t)$ đồng/nghịch biến trên $(3;+\infty )$
$\Rightarrow x=y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 15-03-2013 - 19:12
- hoangtrong2305 và mai dsung thích
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#5
Đã gửi 15-03-2013 - 19:14
$$Q.E.D \Leftrightarrow \frac{(y+z)}{yz(4-yz)}+\frac{(x+z)}{xz(4-xz)}+\frac{(y+x)}{xy(4-xy)}\ge 2$$Câu III:
1. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn $x + y + z = 3$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - xy}} \ge 2xyz\]
$$\frac{(y+z)}{yz(4-yz)} \ge \frac{2}{\sqrt{yz.}(2-\sqrt{yz})(2+\sqrt{yz})}\geq \frac{2}{(2+\sqrt{yz})}$$
$$VT \geq 2\left(\frac{9}{6+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}+\sqrt{xy}}\right)\ge \frac{18}{6+3}=2$$
Vậy bài toán được chứng minh.
- khanh3570883, yeutoan11, Mai Duc Khai và 8 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#6
Đã gửi 21-03-2013 - 21:17
Câu IV:
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm $G\left( {1;2} \right)$. Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Dễ dàng dùng hình học phẳng ta CM được đường tròn đi qua 2 trung điểm và chân đường cao là đường tròn đi qua 3 trung điểm của tam giác ABC. Từ đó dùng phép vị tự tâm G tỉ số -2 biến đường tròn đã cho thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
#7
Đã gửi 23-03-2013 - 23:11
bạn ơi câu 1 phần 2 ra pt tiếp tuyến là gì vậy?
sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình
#8
Đã gửi 25-03-2013 - 15:39
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x>-3\\ y>-3 \end{matrix}\right.$
Xét phương trình $\frac{{x - y}}{4} = \ln \left( {x + 3} \right) - \ln \left( {y + 3} \right)$
$\Leftrightarrow \frac{x}{4}-\ln(x+3)=\frac{y}{4}-\ln(y+3)$
Xét $f(t)=\frac{1}{4}t-\ln(t+3)$ trên $(-3;+\infty )$
$\Rightarrow f'(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{t+3}$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$ (loại)
Vậy $f(t)$ đồng/nghịch biến trên $(3;+\infty )$
$\Rightarrow x=y$, thay vàp pt đầu của hệ, thành:
$( {1 + {4^{x}}} ){5^{1-x}} = 1 + {2^{x+1}}$
$\Leftrightarrow 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.(\frac{4}{5})^{x}-2.2^{x}-1=0$
Đặt $f(x)= 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.(\frac{4}{5})^{x}-2.2^{x}-1$ xét trên $(-3;+\infty )$
$\Rightarrow f'(x)=-5\ln 5.(\frac{1}{5})^{x}+5.\ln\frac{4}{5}.(\frac{4}{5})^{x}-2\ln2.2^{x}<0$
Vậy $f(x)$ nghịch biến
Mà $f(1)=0$
Vậy hệ có nghiệm $x=y=1$
Mình nghĩ là nên đặt 2x-y=t và xét hàm số $y=5^{1-t}+4^{t}5^{1-t}-2^{t+1}$ có $y'<0\forall t$ phương trình 1 có nghiệm duy nhất t=1 từ đó thay y=2x-1 vào pt 2 và lâp bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{x-1}{4}+ln(x+3)-ln(2x+2)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ ta có $y\geq 0$. Từ đó có x=1$\Rightarrow$y=1
#9
Đã gửi 15-09-2013 - 20:07
Bài hình không gian đâu phải lăng trụ đứng lăng trụ thường mà
#10
Đã gửi 16-09-2014 - 19:56
Bài hình không gian đâu phải lăng trụ đứng lăng trụ thường mà
lăng trụ thường thì làm làm sao hả bạn
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh