Chủ đề này có 7 trả lời

[namcpnh]

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện :$a_1=1,a_2=a_1+\frac{1}{a_1},...,a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$.

Chứng minh $a{2013}>63$

[Sagittarius912]

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện :$a_1=1,a_2=a_1+\frac{1}{a_1},...,a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$.

Chứng minh $a{2013}>63$

trước hết ta chứng minh được

$\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Xét dãy

$u_n=\frac{a_n}{\sqrt{n}}$

Ta có

$u_{n}-u_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{n}}-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}=a_{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})+\frac{1}{a_{n+1}\sqrt{n+1}}>0$

$\Rightarrow u_n > u_{n+1}$

Do đó $\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$

$\Rightarrow u_n \ge \sqrt{2}$

hay

$a_n \ge \sqrt{2n}$

Thay $n = 2013$ ta có$a_{2013} \ge \sqrt{2.2013 }>63$ (đpcm)

[lovesmaths]

trước hết ta chứng minh được

$\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Xét dãy

$u_n=\frac{a_n}{\sqrt{n}}$

Ta có

$u_{n}-u_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{n}}-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}=a_{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})+\frac{1}{a_{n+1}\sqrt{n+1}}>0$

$\Rightarrow u_n > u_{n+1}$

Do đó $\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$

$\Rightarrow u_n \ge \sqrt{2}$

hay

$a_n \ge \sqrt{2n}$

Thay $n = 2013$ ta có$a_{2013} \ge \sqrt{2.2013 }>63$ (đpcm)

trước hết ta chứng minh được

$\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Xét dãy

$u_n=\frac{a_n}{\sqrt{n}}$

Ta có

$u_{n}-u_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{n}}-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}=a_{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})+\frac{1}{a_{n+1}\sqrt{n+1}}>0$

$\Rightarrow u_n > u_{n+1}$

Do đó $\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$

$\Rightarrow u_n \ge \sqrt{2}$

hay

$a_n \ge \sqrt{2n}$

Thay $n = 2013$ ta có$a_{2013} \ge \sqrt{2.2013 }>63$ (đpcm)

"$\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$. "
Việc chứng minh u_n là dãy dương giảm nằm trong phần chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$
Bài này là bất đẳng thức rất yếu. Chỉ cần bình phuơng 2 vế là xong $a_n^2> a_{n-1}^2+2$

[Sagittarius912]

"$\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$. "
Việc chứng minh u_n là dãy dương giảm nằm trong phần chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$
Bài này là bất đẳng thức rất yếu. Chỉ cần bình phuơng 2 vế là xong $a_n^2> a_{n-1}^2+2$

có thật là $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ không? bạn chứng minh mình xem nào

[namcpnh]

có thật là $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ không? bạn chứng minh mình xem nào

Cái này bạn chứng minh trên rồi còn gì?Mà cái này cũng không phải chứng minh mà là thừa nhận. Bạn làm cụ thể xem sao (cả bạn lovesmaths nữa)

trước hết ta chứng minh được

$\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Xét dãy

$u_n=\frac{a_n}{\sqrt{n}}$

Ta có

$u_{n}-u_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{n}}-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}=a_{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})+\frac{1}{a_{n+1}\sqrt{n+1}}>0$

$\Rightarrow u_n > u_{n+1}$

Do đó $\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$

$\Rightarrow u_n \ge \sqrt{2}$

hay

$a_n \ge \sqrt{2n}$

Thay $n = 2013$ ta có$a_{2013} \ge \sqrt{2.2013 }>63$ (đpcm)

Thêm 1 điều thú vị nữa là $u_n$ là dãy giảm và $u_n \ge \sqrt{2}$ mà

$a_n \ge \sqrt{2n}$??? Phải là

$u_n\leq \sqrt{2}$ mới đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 16-03-2013 - 19:28

[Sagittarius912]

"$\left ( u_n \right )$ là dãy dương giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$. "
Việc chứng minh u_n là dãy dương giảm nằm trong phần chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$
Bài này là bất đẳng thức rất yếu. Chỉ cần bình phuơng 2 vế là xong $a_n^2> a_{n-1}^2+2$

có thật là $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ không? bạn chứng minh mình xem nào

@@
câu khi nãy là nói nhầm . coi như chưa nói gì cả, đi học về nên nhìn nhầm đó mà

Cái này bạn chứng minh trên rồi còn gì?Mà cái này cũng không phải chứng minh mà là thừa nhận. Bạn làm cụ thể xem sao (cả bạn lovesmaths nữa)


Thêm 1 điều thú vị nữa là $u_n$ là dãy giảm và $u_n \ge \sqrt{2}$ mà

$a_n \ge \sqrt{2n}$??? Phải là

$u_n\leq \sqrt{2}$ mới đúng.

$u_n$ là dãy giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ thì $u_n \ge \sqrt{2}$ mới đúng mà???
Tức là khi $n\rightarrow +\infty$ thì $u_1>u_n \ge \sqrt{2}$
Thế nếu $u_n \le \sqrt{2}$ thì thành thử $\lim u_n=0$ à? ? nó giảm và phải bị chặn dưới bởi $\sqrt{2}$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 16-03-2013 - 19:44

[namcpnh]

@@
câu khi nãy là nói nhầm . coi như chưa nói gì cả
$u_n$ là dãy giảm và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ thì $u_n \ge \sqrt{2}$ mới đúng mà???
Tức là khi $n\rightarrow +\infty$ thì $u_1>u_n \ge \sqrt{2}$
Thế nếu $u_n \le \sqrt{2}$ thì thành thử $\lim u_n=0$ à? ? nó giảm và phải bị chặn dưới bởi $\sqrt{2}$ chứ

Ừ mình nhầm .Phần chúng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}$ mình có thể viết tường minh hàm ra rồi thay $L=\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ vào? Không biết có ra hay không? Mọi người giải dùm .

[lovesmaths]

Việc tìm lim u_n quá cơ bản rồi, ko hiểu các bạn còn thắc mắc gì. Mình sẽ ko giải thích gì nhiều nữa. Nếu chứng minh dưới mà các bạn vẫn chưa hiểu thì các bạn nên tìm đọc sách thêm trước khi thắc mắc
$a_n$ là dãy tăg vài tiến tới vô cùng
mà $lim (a_n^2-a_{n-1}^2)=2$
nên $ lim \frac{a_n^2}{n}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovesmaths: 17-03-2013 - 20:47