Chủ đề này có 2 trả lời

[rikimaru]

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn $\tan ^2 A + \tan^2 B+ \tan^2 C=9$
chứng minh rằng tam giác ABC đều

[25 minutes]

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn $\tan ^2 A + \tan^2 B+ \tan^2 C=9$
chứng minh rằng tam giác ABC đều

Đặt $\left\{\begin{matrix}
a= \tan A\\b= \tan B
\\c= \tan C

\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 9$
Sử dụng đẳng thức sau $a+b+c=abc$
Áp dụng AM-GM ta có : $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
$abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3$
$\Rightarrow a+b+c=abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3$
$\Rightarrow \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq a+b+c \geq 3\sqrt{3}$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9$
Vậy $ \tan A+ \tan B+ \tan C \geq 9$
Dấu = xảy ra khi tam giác đã cho đều

[tacloanbo]

sử dụng BĐT jensen tan$\sum tan^{2}A \geq tan^{2}\sum A = 9$ dấu bằng xảy ra khi A=B=c