Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
Bài 1: Cho hàm số $f\left ( x \right )$ liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc đoạn $[a;b]$ đều tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn $[x_{1};x_{2}]$ sao cho $f©=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]$

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ

Bài 3: Giả sử hàm số $f(x)$ và $f(x+\frac{1}{2})$liên tục trên đoạn [0;1] và $f(0)=f(1)$.Chứng minh rằng phương trình $f(x)-f(x+\frac{1}{2})=0$ luôn có nghiệm thuộc $[0;\frac{1}{2}]$

Hình đã gửi


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 3: Giả sử hàm số $f(x)$ và $f(x+\frac{1}{2})$liên tục trên đoạn [0;1] và $f(0)=f(1)$.Chứng minh rằng phương trình $f(x)-f(x+\frac{1}{2})=0$ luôn có nghiệm thuộc $[0;\frac{1}{2}]$

Đặt $g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})\Rightarrow g(x)$ liên tục trên $[0;\frac{1}{2}]$
$$\begin{align*}
&g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2}) \\
&g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(\frac{2}{2}) \\
\end{align*}$$

$$\Rightarrow g(0)+g(\frac{1}{2})=f(0)-f(1)=0$$

$\Rightarrow \exists i,j \in \{0,1\}$ sao cho $g(\frac{i}{2})\le 0$ và $g(\frac{j}{2})\ge 0$

$$\Rightarrow g(\frac{i}{2}).g(\frac{j}{2})\le 0\Rightarrow \exists c \in \left[\min \{\frac{i}{2};\frac{j}{2} \};\max \{\frac{i}{2};\frac{j}{2} \} \right ]$$ Sao cho $g (c )=0$

$$\Leftrightarrow f( c)-f(c+\frac{1}{2})=0 \Leftrightarrow f( c)=f(\frac{1}{2}+c)$$

Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-03-2013 - 22:44

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ

Xét hàm số $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ xác định trên $\mathbb{R}$

Ta có $\lim\limits_{n\to +\infty} f(x)= +\infty$

Vì $\lim\limits_{n\to +\infty} f(x)= +\infty$ nên dãy số $(x_n)$ bất kì mà $x_n\to +\infty $ ta luôn có $\lim f(x_n)=+\infty$

Do đó $f(x_n)$ có thể lớn hơn 1 số dương bất kì kể từ 1 số hàng nào đó trở đi.

Giả sử số dương này là $1$ thì $f(x_n)>1$ kể từ 1 số hàng nào đó trở đi. Hay nói cách khác tồn tại số $a$ sao cho $f(a)>1$

$\lim\limits_{n\to -\infty} f(x)=-\infty$ do $n$ lẻ

Vì $\lim\limits_{n\to -\infty} f(x)=-\infty$ nên nên dãy số $(x_n)$ bất kì mà $x_n\to -\infty $ ta luôn có $\lim f(x_n)=-\infty$ hay $\lim[- f(x_n)]=+\infty$

Do đó $-f(x_n)$ có thể lớn hơn 1 số dương bất kì kể từ 1 số hàng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là $1$ thì $-f(x_n)>1$ kể từ 1 số nào đó trở đi. Nói cách khác luôn tồn tại $b$ sao cho $-f(b)>1$ hay $f(b)<-1$

Vậy luôn tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)f(b)<0$

Do đó $f(x)=0$ luôn có nghiệm.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Bài 1: Cho hàm số $f\left ( x \right )$ liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc đoạn $[a;b]$ đều tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn $[x_{1};x_{2}]$ sao cho $f©=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]$

Đặt $Sup_{x\in[x_1;x_2]}=f(x_0);Inf_{x\in[x_1;x_2]}=f(x'_0)$
Xét hàm số $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$, ta có $g(x_0).g(x'_0)<0$ suy ra tồn tại nghiệm $x=c$ của phương trình $g(x)=0$ thuộc $(x_0,x'_0)$, hay $c\in[x_1,x_2]$.
Ta có đpcm

LKN-LLT


#5
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Đặt $Sup_{x\in[x_1;x_2]}=f(x_0);Inf_{x\in[x_1;x_2]}=f(x'_0)$


đây là kí hiệu gì vậy? mình k biết

Hình đã gửi


#6
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
Sup là cận trên , Inf cận dưới

LKN-LLT





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh