Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 16-03-2013 - 22:16

Bài 1: Cho hàm số $f\left ( x \right )$ liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc đoạn $[a;b]$ đều tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn $[x_{1};x_{2}]$ sao cho $f©=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]$

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ

Bài 3: Giả sử hàm số $f(x)$ và $f(x+\frac{1}{2})$liên tục trên đoạn [0;1] và $f(0)=f(1)$.Chứng minh rằng phương trình $f(x)-f(x+\frac{1}{2})=0$ luôn có nghiệm thuộc $[0;\frac{1}{2}]$

Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 16-03-2013 - 22:44

Bài 3: Giả sử hàm số $f(x)$ và $f(x+\frac{1}{2})$liên tục trên đoạn [0;1] và $f(0)=f(1)$.Chứng minh rằng phương trình $f(x)-f(x+\frac{1}{2})=0$ luôn có nghiệm thuộc $[0;\frac{1}{2}]$

Đặt $g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})\Rightarrow g(x)$ liên tục trên $[0;\frac{1}{2}]$
$$\begin{align*}
&g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2}) \\
&g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(\frac{2}{2}) \\
\end{align*}$$

$$\Rightarrow g(0)+g(\frac{1}{2})=f(0)-f(1)=0$$

$\Rightarrow \exists i,j \in \{0,1\}$ sao cho $g(\frac{i}{2})\le 0$ và $g(\frac{j}{2})\ge 0$

$$\Rightarrow g(\frac{i}{2}).g(\frac{j}{2})\le 0\Rightarrow \exists c \in \left[\min \{\frac{i}{2};\frac{j}{2} \};\max \{\frac{i}{2};\frac{j}{2} \} \right ]$$ Sao cho $g (c )=0$

$$\Leftrightarrow f( c)-f(c+\frac{1}{2})=0 \Leftrightarrow f( c)=f(\frac{1}{2}+c)$$

Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-03-2013 - 22:44

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 17-03-2013 - 11:23

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ luôn có nghiệm với mọi n lẻ

Xét hàm số $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ xác định trên $\mathbb{R}$

Ta có $\lim\limits_{n\to +\infty} f(x)= +\infty$

Vì $\lim\limits_{n\to +\infty} f(x)= +\infty$ nên dãy số $(x_n)$ bất kì mà $x_n\to +\infty $ ta luôn có $\lim f(x_n)=+\infty$

Do đó $f(x_n)$ có thể lớn hơn 1 số dương bất kì kể từ 1 số hàng nào đó trở đi.

Giả sử số dương này là $1$ thì $f(x_n)>1$ kể từ 1 số hàng nào đó trở đi. Hay nói cách khác tồn tại số $a$ sao cho $f(a)>1$

$\lim\limits_{n\to -\infty} f(x)=-\infty$ do $n$ lẻ

Vì $\lim\limits_{n\to -\infty} f(x)=-\infty$ nên nên dãy số $(x_n)$ bất kì mà $x_n\to -\infty $ ta luôn có $\lim f(x_n)=-\infty$ hay $\lim[- f(x_n)]=+\infty$

Do đó $-f(x_n)$ có thể lớn hơn 1 số dương bất kì kể từ 1 số hàng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là $1$ thì $-f(x_n)>1$ kể từ 1 số nào đó trở đi. Nói cách khác luôn tồn tại $b$ sao cho $-f(b)>1$ hay $f(b)<-1$

Vậy luôn tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)f(b)<0$

Do đó $f(x)=0$ luôn có nghiệm.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An

Đã gửi 18-03-2013 - 00:48

Bài 1: Cho hàm số $f\left ( x \right )$ liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc đoạn $[a;b]$ đều tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn $[x_{1};x_{2}]$ sao cho $f©=\frac{1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]$

Đặt $Sup_{x\in[x_1;x_2]}=f(x_0);Inf_{x\in[x_1;x_2]}=f(x'_0)$
Xét hàm số $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$, ta có $g(x_0).g(x'_0)<0$ suy ra tồn tại nghiệm $x=c$ của phương trình $g(x)=0$ thuộc $(x_0,x'_0)$, hay $c\in[x_1,x_2]$.
Ta có đpcm

LKN-LLT


#5 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-03-2013 - 20:16

Đặt $Sup_{x\in[x_1;x_2]}=f(x_0);Inf_{x\in[x_1;x_2]}=f(x'_0)$


đây là kí hiệu gì vậy? mình k biết

Hình đã gửi


#6 gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An

Đã gửi 18-03-2013 - 20:21

Sup là cận trên , Inf cận dưới

LKN-LLT





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh