Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

1.$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 16-03-2013 - 22:20

Cm
1.$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$
2.$(1+\frac{1}{a})^{4}+(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq 3(1+\frac{3}{2+abc})^{4}$

#2 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 16-03-2013 - 22:31

Cm
1.$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

Sử dụng bđt AM-GM:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$


$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$


Cộng vế theo vế 2 bđt trên ta có

$3\ge \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$


$\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge (1+\sqrt[3]{abc})^3$


Dấu đằng thức xảy ra khi $a=b=c$



#3 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 16-03-2013 - 22:36

Cm
1.$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

Bất đẳng thức này chỉ đúng khi $a,b,c\geq 0$
Bất đẳng thức $Holder$ áp dụng cho $3$ bộ $2$ số

#4 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-03-2013 - 07:30

Bất đẳng thức này chỉ đúng khi $a,b,c\geq 0$
Bất đẳng thức $Holder$ áp dụng cho $3$ bộ $2$ số

Bất đẳng thức $Holder$ là như thế nào vậy bạn ?

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#5 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-03-2013 - 07:49

Cm
1.$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

Bài toán còn có thể tổng quát lên như sau :
$(1+a_{1}).(1+a_{2})...(1+a_{n})\geq (1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}})^{n};a_{j}\geq 0,j=\overline{1,n}$
Giải: Áp dụng BĐT $mincôpxki$ ,ta có :

$ \sqrt[n]{1.1...1}+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}\leq \sqrt[n]{(1+a_{1}).(1+a_{2})...(1+a_{n})}\\
\Rightarrow \left ( 1+ \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}\right )^{n}\leq (1+a_{1}).(1+a_{2})...(1+a_{n})$
----------------------

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#6 vnmath98

vnmath98

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Phú Thọ

Đã gửi 17-03-2013 - 07:55

Nếu mình không nhầm thì bài 2 là đề trong toán tuổi thơ 2 số 82

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnmath98: 17-03-2013 - 07:55

    3324214559_b11a7ebb97_o-1.gif

 


#7 Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 17-03-2013 - 11:25

Nếu mình không nhầm thì bài 2 là đề trong toán tuổi thơ 2 số 82

Đề thầy giáo mình cho.Chắc là lấy trong TTT.Không biết có bị coi là vi phạm nội qui không nhỉ.

#8 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 17-03-2013 - 11:38

Sử dụng bđt AM-GM:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$


$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$


Cộng vế theo vế 2 bđt trên ta có

$3\ge \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$


$\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge (1+\sqrt[3]{abc})^3$


Dấu đằng thức xảy ra khi $a=b=c$

Cách 2:
$\oplus$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:
$(1+a)(1+b)(1+c) = [1+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+abc] \ge (1+\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + \sqrt[3]{abc} + abc) = (1+\sqrt[3]{abc})^3$

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#9 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 17-03-2013 - 11:41

Cách 2:
$\oplus$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:
$(1+a)(1+b)(1+c) = [1+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+abc] \ge (1+\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + \sqrt[3]{abc} + abc) = (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Thế nếu làm với trường hợp n số thì cách bạn có "đáp ứng" nổi không? :)) :))

#10 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 17-03-2013 - 11:44

Bài toán còn có thể tổng quát lên như sau :
$(1+a_{1}).(1+a_{2})...(1+a_{n})\geq (1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}})^{n};a_{j}\geq 0,j=\overline{1,n}$

----------------------

Hãy thử sức với 1 bài toán sau:

Cho $a_i\ge 1$. CMR

$(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)\le (\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}-1)^n$



#11 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-03-2013 - 17:04

Hãy thử sức với 1 bài toán sau:

Cho $a_i\ge 1$. CMR

$(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)\le (\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}-1)^n$

Hì hì..làm xong buổi trưa rồi nhưng chiều đi học nên giờ mới gửi ...^^^
Lời giải:
Ta có :
$(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)\le (\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}-1)^n\\ \Leftrightarrow \sqrt[n]{(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)}+1\leq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.\\ \Leftrightarrow \sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}+\sqrt[n]{\frac{(a_{1}-1).(a_{2}-1)...(a_{n}-1)}{a_{1}.a_{2}..a_{n}}}\leq 1$
Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta được :
$\sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}+\sqrt[n]{\frac{(a_{1}-1).(a_{2}-1)...(a_{n}-1)}{a_{1}.a_{2}..a_{n}}}\leq \frac{1}{n}.(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})+\frac{1}{n}.(\frac{a_{1}-1}{a_{1}}+\frac{a_{2}-1}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}-1}{a_{n}})=\frac{1}{n}.(1+1+..+1) (\text{n số $1$})=\frac{1}{n}.n=1\\ \Rightarrow Q.E.D$
-----------------------------

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#12 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 03-11-2019 - 18:57

Hì hì..làm xong buổi trưa rồi nhưng chiều đi học nên giờ mới gửi ...^^^
Lời giải:
Ta có :
$(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)\le (\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}-1)^n\\ \Leftrightarrow \sqrt[n]{(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1)}+1\leq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.\\ \Leftrightarrow \sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}+\sqrt[n]{\frac{(a_{1}-1).(a_{2}-1)...(a_{n}-1)}{a_{1}.a_{2}..a_{n}}}\leq 1$
Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta được :
$\sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}+\sqrt[n]{\frac{(a_{1}-1).(a_{2}-1)...(a_{n}-1)}{a_{1}.a_{2}..a_{n}}}\leq \frac{1}{n}.(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})+\frac{1}{n}.(\frac{a_{1}-1}{a_{1}}+\frac{a_{2}-1}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}-1}{a_{n}})=\frac{1}{n}.(1+1+..+1) (\text{n số $1$})=\frac{1}{n}.n=1\\ \Rightarrow Q.E.D$
-----------------------------

Dạng tổng quát ( còn gọi là BĐT cô si trung bình căn ) :

$\sqrt[n]{x_{1}+...+x_{n}}+\sqrt[n]{y_{1}+...+y_{n}}\geq \sqrt[n]{(x_{1}+y_{1})\cdot ...\cdot (x_{n}+y_{n})}$ 


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh