Tính tổng $S_n=ch x+2ch 2x+...+nchnx$
#2
Đã gửi 17-03-2013 - 18:28
Thật ra các phép biến đổi hàm Hyperbolic cũng gần giống Lượng giác vậy,chỉ khác đôi chút về công thức của hàm $\cosh$ thôiGọi $ch x =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Tính tổng $$S_n=ch x+2ch 2x+...+nchnx$$
**********
Dễ dàng có công thức sau :
\[\frac{d}{{dx}}\sinh kx = k\cosh kx\]
Nên ta chỉ cần tính tổng $A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sinh kx$.
Để ý đến hằng đẳng thức sau :
$$\cosh (x+y)-\cosh (x-y)=2\sinh x\sinh y$$
Do đó :
\[\begin{array}{rcl}
{A_n} &=& \sum\limits_{k = 1}^n {\sinh kx} \\
&=& \frac{1}{{2\sinh \frac{x}{2}}}{\sum\limits_{k = 1}^n {2\sinh \frac{x}{2}\sinh kx} }\\
&=& \frac{1}{{2\sinh \frac{x}{2}}}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\cosh \frac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2} - \cosh \frac{{\left( {2k - 1} \right)x}}{2}} \right]} }\\
&=& \frac{{\cosh \frac{{\left( {2n + 1} \right)x}}{2} - \cosh \frac{x}{2}}}{{2\sinh \frac{x}{2}}}\\
&=& \frac{{\sinh \frac{{nx}}{2}\sinh \frac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sinh \frac{x}{2}}}
\end{array}\]
Và chỉ cần lấy đạo hàm của $A_{n}$ thì sẽ có kết quả $S_{n}$.
- hxthanh, Ispectorgadget, NLT và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-03-2013 - 19:30
Gọi $ch x =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Tính tổng $$S_n=ch x+2ch 2x+...+nchnx$$
Bài này sẽ là một ví dụ đẹp cho sai phân cấp 2
Để xem ta có được gì:
Ta có:
$\Delta\left(\text{ch}\,kx\right)=\text{ch}(k+1)x-\text{ch}\,kx$
$\Delta^2\left(\text{ch}\,kx\right)=\Delta\left[\Delta\left(\text{ch}\,kx\right)\right]=\text{ch}(k+2)x-\text{ch}\,(k+1)x-\text{ch}(k+1)x+\text{ch}\,kx$
$\quad=\dfrac{e^{(k+2)x}+e^{-(k+2)x}-2e^{(k+1)x}-2e^{-(k+1)x}+e^{kx}+e^{-kx}}{2}$
$\quad=(e^x+e^{-x}-2)\cdot\dfrac{e^{(k+1)x}+e^{-(k+1)x}}{2}=(e^x+e^{-x}-2).\text{ch}\,(k+1)x$
Như vậy ta có:
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=\sum_{k=1}^n k\,\Delta^2\left(\text{ch}\,(k-1)x\right)$
Sai phân từng phần ta được:
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=k\Delta\left(\text{ch}\,(k-1)x\right)\bigg|_{k=1}^{n+1}-\sum_{k=1}^n\Delta\left(\text{ch}\,kx\right)$
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=k\Delta\left(\text{ch}\,(k-1)x\right)\bigg|_{k=1}^{n+1}-\text{ch}\,kx\bigg|_{k=1}^{n+1}$
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=(n+1)\left[\text{ch}\,(n+1)x-\text{ch}\,nx\right]-(\text{ch}\,x-\text{ch}\,0x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad-\text{ch}\,(n+1)x+\text{ch}\,x$
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=-(n+1)\text{ch}\,nx+n\text{ch}\,(n+1)x+1$
Vậy: $S_n=\dfrac{n\text{ch}\,(n+1)x-(n+1)\text{ch}\,nx+1}{e^x+e^{-x}-2}$
Lưu ý rằng: người ta cũng gọi $\text{sh}\,x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$, như thế thì:
$e^x+e^{-x}-2=4\text{sh}^2\frac{x}{2}$
Và ta có thể viết gọn lại thành:
$S_n=\dfrac{n\text{ch}\,(n+1)x-(n+1)\text{ch}\,nx+1}{4\text{sh}^2\frac{x}{2}}$
- dark templar, Ispectorgadget, NLT và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 18-03-2013 - 18:19
Bài toán: Hãy tính tổng $S_{n}=-\cosh x+2\cosh 2x-3\cosh 3x+...+(-1)^{n}n\cosh nx$.
Nào,mời anh Thanh và Kiên.
@hxthanh: Đang đau đầu quá, chẳng nghĩ ngợi được gì! (Hy vọng không phải cúm H5N1 )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-03-2013 - 19:08
- hxthanh yêu thích
#5
Đã gửi 18-03-2013 - 20:14
Mà cũng đơn giản thôi!
$\Delta\left[(-1)^kk\right]=(-1)^{k+1}(k+1)-(-1)^kk=(-1)^{k+1}(2k+1)$
$\Delta\left[(-1)^{k+1}(2k+1)\right]=4(-1)^{k+1}(k+1)$
Nên $(e^x+e^{-x}-2)S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^kk\Delta^2\left[\text{ch}\,(k-1)x\right]$
Sai phân từng phần thì được:
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=(-1)^kk\Delta\left[\text{ch}\,(k-1)x\right]\bigg|_{k=1}^{n+1}+\sum_{k=1}^n(-1)^k(2k+1)\Delta\left[\text{ch}\,kx\right]$
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=(-1)^kk\Delta\left[\text{ch}\,(k-1)x\right]\bigg|_{k=1}^{n+1}+(-1)^k(2k+1)\text{ch}\,kx\bigg|_{k=1}^{n+1}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-4\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}(k+1)\text{ch}\,(k+1)x$
$(e^x+e^{-x}-2)S_n=(-1)^kk\Delta\left[\text{ch}\,(k-1)x\right]\bigg|_{k=1}^{n+1}+(-1)^k(2k+1)\text{ch}\,kx\bigg|_{k=1}^{n+1}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-4\left[S_n+\text{ch}\,x+(-1)^{n+1}(n+1)\text{ch}\,(n+1)x\right]$
Từ đây rút gọn và suy được ra $S_n$
Cụ thể:
$S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^kk\text{ch}\,kx=\dfrac{(-1)^nn\text{ch}\,(n+1)x+(-1)^{n}(n+1)\text{ch}\,nx-1}{e^x+e^{-x}+2}$
Lưu ý rằng $e^x+e^{-x}+2=4\text{ch}^2\frac{x}{2}$
Vậy $$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^kk\text{ch}\,kx=\dfrac{(-1)^nn\text{ch}\,(n+1)x+(-1)^{n}(n+1)\text{ch}\,nx-1}{4\text{ch}^2\dfrac{x}{2}}}$$
@Dark templar: Đau đầu mà làm bài ghê thế anh Mà anh thử đi nhà thuốc Tây thử xem,biết đâu chỉ là đau đầu thông thường.
@hxthanh: Anh đỡ nhiều rồi, nhưng người thì đau nhừ tử!
@NLT: Thầy Thanh đau thì nghỉ ngơi đi ạ, quá sức sẽ không tốt đâu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 20-03-2013 - 20:20
- dark templar và NLT thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh