Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán 2013 ĐH Mỏ địa chất- môn Giải tích


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 18-03-2013 - 11:04

Đề thi chọn đội tuyển Olimpic DH Mỏ Địa Chất HN, môn giải tích (Vòng 1 - 2013)



Trần Hiệp Anh - DH Mỏ - Địa Chất Hà Nội:



4f4f3aafa9f7f.jpg



Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

Bài 2: ($3$ điểm): Tính giới hạn sau: $\underset{n\rightarrow +\infty}{Lim}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^n})$

Bài 3: ($3$ điểm): Tìm tất cả các giá trị của $a \in \mathbb{R}$ để hàm số: $f(x)=\left | x-1 \right |.(a^3x^2+2ax-3)$ khả vi tại $x=1$

Bài 4: ($4$ điểm): Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ , khả vi trên $(0,1)$ có $f(1)=0$ chứng minh rằng:

Tồn tại $x_0\in (0,1)$ để: $f'(x_0).x_0 + 1 = e^{-f(x_0)}$.

Bài 5: ($3$ điểm): Chứng minh hàm $f(x)$ xác định trên $R$ thỏa mãn: $f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x)$ là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó.

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

 

Môn Đại số: 

 

Câu 1: Cho $a_0$, $d\in R$ và $a_1=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

 

 

$\Delta = \begin{vmatrix}

a_0 & a_1 & a_2 &...  &a_n \\ 
 a_1& a_0 & a_1 &  ...& a_{n-1}\\ 
 a_2& a_1 & a_0 & ... & a_{n-2} \\ 
 ...& ... & ... &  ...& \\ ...
 a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & ... & a_0

\end{vmatrix}$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$..

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 19-03-2013 - 21:55

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#2 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 19-03-2013 - 17:33

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

a) $A=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx+\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

Xét $I=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx$

 

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-\ dx$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}\frac{f(-t)}{1+g(-t)}\ dt$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}\frac{f(-x)}{1+g(-x)}\ dx$

 

$I=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

Vậy $A=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}\ dx+\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}+\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$ (đpcm)

 

 

b)

 

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}\ dx$

 

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\ dx$

 

$=\sin x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 19-03-2013 - 17:34

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 19-03-2013 - 21:56

Câu 1: Cho $a_0, d \in \mathbb{R} $ và $a_i=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

$$\Delta = \begin{vmatrix}a_0 & a_1 & a_2 &...  &a_n \\ a_1& a_0 & a_1 &  ...& a_{n-1}\\ a_2& a_1 & a_0 & ... & a_{n-2} \\  ...& ... & ... &  ...& \\ a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & ... & a_0 \end{vmatrix}$$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$

 

 

Cảm ơn bạn Bùi Khắc Dương- HV tài chính đã gửi đề thi này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-03-2013 - 21:57

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 20-03-2013 - 15:14

Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

 

Bài này chắc làm đại chứ chả biết đúng hay sai :P

 

$I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

 

Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{\cos^{2}t}\ dt$

 

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan x=\frac{\pi}{2}$ (hic ai đó chứng minh dùm cái này)

 

Tích phân thành $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^{2}t}}{(\tan t+1)\frac{1}{\cos t}}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin t+\cos t}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin t+\cos t)^{2}-2\sin t\cos t}{\sin t+\cos t}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t+\cos t-\frac{2\sin t\cos t}{\sin t+\cos t})\ dt$

 

$I=[\sin t-\cos t-\frac{1+\sin 2t}{2}+\ln(\sin t+\cos t)]|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=0$


Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#5 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 21-03-2013 - 08:37

bài 2 : $2n-1 =\frac{1}{2}[2(4n+2)-(4(n+1)+2)]$ thay vào thì tính đc giới hạn

bai4) xét hàm $g(x)=f(x)x-x$ . sau đó dùng định lí roll ..

bai5) từ điều kiên ta được : $f(x-2)+f(x+2)=0$ hay $f(x)=f(x+8)$


NGU
Hình đã gửi

#6 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-04-2013 - 13:03

Mình cùi mà đề này cũng thấy ngon   :lol: 

Bài 2: xét chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2n-1}{2^{n}}$ dễ thấy chuỗi dương, hội tụ theo tiêu chuẩn cauchy, vậy giới hạn bằng 0

Bài 3: dùng định nghĩa để tìm

Bài 4: xét hàm $g(x)=x.(e^{f(x)}-1)$ dùng rolle ta có dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 04-04-2013 - 13:08

Tào Tháo


#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1540 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:done with math

Đã gửi 24-12-2013 - 19:30

Mình cùi mà đề này cũng thấy ngon   :lol: 

Bài 2: xét chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2n-1}{2^{n}}$ dễ thấy chuỗi dương, hội tụ theo tiêu chuẩn cauchy, vậy giới hạn bằng 0

Bài 3: dùng định nghĩa để tìm

Bài 4: xét hàm $g(x)=x.(e^{f(x)}-1)$ dùng rolle ta có dpcm

:P anh ơi bài $3$ không phải là $0$ đâu

http://diendantoanho...c523frac2n-12n/


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#8 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-12-2013 - 23:18

bài 2

$\sum \frac{2n-1}{2^{n}}=\sum \frac{2n}{2^{n}}-\sum \frac{1}{2^{n}}$

có$\sum \frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

$\sum \frac{2n}{2^{n}}=2\sum \frac{n}{2^{n}}=2\sum \frac{2n-(n+1)+1}{2^{n}}=2\sum (\frac{n}{2^{n-1}}-\frac{n+1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}})=2(1-\frac{n+1}{2^{n}})+2$

suy ra $\lim u_{n}=2(1-0+1)-1=3$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh