Chủ đề này có 6 trả lời

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+xyz=z$
Tìm GTLN của $A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{1+y^2}-\frac{2}{1+z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 18-03-2013 - 19:39

[Joker9999]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+xyz=z$
Tìm GTLN của $A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{1+y^2}-\frac{2}{1+z^2}$

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

[RoyalMadrid]

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

Bạn ơi, có thế nói rõ hướng suy nghĩ của nó được không. Bạn có thể đoán dấu bằng trước hả???

[thanhducmath]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+xyz=z$
Tìm GTLN của $A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{1+y^2}-\frac{2}{1+z^2}$

Mình dùng lượng giác bạn tham khảo nhé:

 

 đặt x=tana,y=tanb.

$\Rightarrow a,b>0$

 

$z=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=tan(a+b)\Rightarrow a+b<\frac{\Pi }{2}$

Biến đổi

$A=\frac{10}{3}-3[sinb-\frac{1}{3}sin(2a+b)]^{2}-\frac{1}{3}cos^{2}(2a+b)$

$\leq \frac{10}{3}$

[RoyalMadrid]

Mình dùng lượng giác bạn tham khảo nhé:

 

 đặt x=tana,y=tanb.

$\Rightarrow a,b>0$

 

$z=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=tan(a+b)\Rightarrow a+b<\frac{\Pi }{2}$

Biến đổi

$A=\frac{10}{3}-3[sinb-\frac{1}{3}sin(2a+b)]^{2}-\frac{1}{3}cos^{2}(2a+b)$

$\leq \frac{10}{3}$

Hix, làm sao để đặt được như vậy hả bạn? Chả có liên quan ji hết á (

[RoyalMadrid]

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

Bạn xem lại phần biến đổi đoạn đầu, hình như nhầm lẫn thì phải???

[thanhducmath]

Hix, làm sao để đặt được như vậy hả bạn? Chả có liên quan ji hết á (

Mình biến đổi thì thấy nó giống với cái tan(a+b) thôi

Mình cũng để ý cả cái 1+a^{2 ,}1+b²,1+c²  thường người ta đặt a=tanx để rút cái ý về cos